Общие принципы априорной оценки точности

Априорная (a priori –из предшествующего опыту, до опыта) оценка точности различного рода измерений выполняется на математических моделях, в которых заданы ошибки предполагаемых измерений заранее, ещё до того, как эти измерения будут выполнены.

Поставим задачу по заданным ошибкам измерений (координат, скоростей и ускорений) и имеющимся уравнениям измеренных величин (это уравнения (5.21), (5.54) и (5.69) для различных моделей измеренных величин: разностей ускорений, расстояний, радиальных скоростей и ускорений) найти зависимость между ошибками вышеперечисленных величин и ошибками гравитационного поля Земли ΔS_lm и ΔC_lm или ΔJ_lm и Δλ_lm. Обозначим обобщенно коэффициенты гравитации поля Земли ΔS_lm, ΔC_lm или ΔJ_lm и Δλ_lm через _.

Введем также следующие обозначения: – все наблюдаемые значения .

Значениям промежуточных величин (элементам орбиты или другим каким–либо величинам) присвоим индекс (0) вверху, что будет означать полученные из наблюдений (observation), хотя некоторые из них и будут получены в результате вычислений, но все эти величины должны зашумляться заранее заданными моделями ошибок. Эта предпосылка обусловлена тем, что мы полагаем основным источником ошибок – неточное знание гравитационного поля Земли. Всем вычисленным значениям, на основании приближенной модели геопотенциала, присваивают индекс (С) (calculation). Отметим, что согласно введенным обозначениям, гравитационные постоянные ΔS_lm, ΔC_lm или ΔJ_lm и Δλ_lm обобщенно можно записать так

(5.75)

где приближенными, неточными значениями параметров гравитационного поля соответствует , т.е. заданные на основании приближенной модели гравитационного поля Земли.

Тогда мы можем произвольную зависимость измеренных величин и параметров разложить в ряд Тейлора в окрестности приближенных значений . Имеем, ограничиваясь линейными

членами,

, (5.76)

где в выражении (5.61) предполагают известными на любой момент t приближенные значения координат скоростей и ускорений , а также элементов орбиты и приближенную модель гравитационного поля Земли . В выражении (5.76) приняты следующие обозначения:

, (5.77)

Здесь обозначены операторы набла по разным переменным. и – это разности координат и элементов орбиты одного спутника относительно другого. Если мы будем полагать, что главные ошибки вносит гравитационное поле, а ошибками измеряемых величин можно пренебречь, то выражение (5.76) приобретает более простой вид

(5.78)

Выражение (5.76) и(5.78) являются линейными уравнениями измеренных величин и они служат исходными уравнениями для получения уравнений поправок. В самом деле, обозначив через

, (5.79)

имеем следующее уравнения поправок:

, или (5.80)

где – вектор поправок, вызываемый только случайными ошибками.

Полагая, что мы имеем дело только со случайными ошибками, тогда сумма квадратов случайных величин, как известно, всегда равна нулю, то есть =0.

Найдя от этой функции минимум, получают нормальные уравнения, которые в последующем и дают зависимость между случайными ошибками всех измеряемых и искомых величин, входящих в (5.80) .

Например, для второго уравнения (5.80) имеем нормальные уравнения

, (5.81)

которые служат исходными для получения зависимостей между средне-квадратическими ошибками измеряемых и искомых величин. В вышеприведенных выражениях полагают, что мы имеем дело с равноточными измерениями, когда матрица весовых коэффициентов равна 0. При оценке точности уравнение (5.81) нам даёт формулу для оценки точности

, (5.82)

где ,а

. (5.83)

Формулы (5.71)-(5.73) являются примером уравнений измеренных величин и уравнений поправок, когда измеряются расстояния, скорости и ускорения в системе «спутник-спутник». Эти формулы получены Rummel K. и ReinbergK.H. и приводятся в их трудах.