Определение элементов полного тензора градиентометрии

Использовав в качестве исходного уравнения движения для вращающегося вокруг центра масс спутника (5.16) и проделав преобразования, аналогичные тем, которые были использованы выше при выводе уравнения движения в инерциальной системе координат (5,7), получим дифференциальные уравнения движения произвольной точечной массы m, вращающейся вокруг центра масс спутника

(5.17)

Правила действия с оператором над простейшими функциями от радиус–вектора позволяет упростить выражение (5.17). А именно:

, (5.18)

где функция не зависит от . Третье слагаемое упрощается следующим образом:

(5.19)

С учетом полученных выражений (5.18),(5.19) ,уравнение (5.17) принимает следующий вид:

. (5.20)

Распишем уравнение (5.20) в матричном виде. Оно будет иметь следующий вид

(5.21)

Уравнения (5.20) и (5.21)) представляют собой систему дифференциальных уравнений второго порядка, состоящую из девяти уравнений. Первое слагаемое есть тензор гравитационного поля Земли, а все выражение получило название полного тензора градиентометрии. Элементами тензора гравитационного поля Земли являются вторые производные от потенциала Земли, , и т.д.

Элементами полного тензора градиентометрии являются слагаемые из вторых производных геопотенциала и различных комбинаций угловых скоростей и угловых ускорений . Заметим, что величины изменения скоростей весьма малы и при соответствующей предварительной их оценки в подавляющем большинстве их не учитывают.

Свойства полного тензора градиентометрии и преобразование тензора гравитационного поля Земли

Полный тензор градиентометрии имеет следующие базовые соотношения:

– Полусумма полного и транспортированного тензора градиентометрии дает следующее соотношение:

(5.22)

– Полуразность тех же соотношений дает:

(5.23)

Распишем выражение (5.23) подробнее:

(5.24)

Выражение (5.24) дает только три линейно независимых уравнения, а именно

(5.25)

На основании выражений (5.25) можно проводить априорный анализ о необходимости учета изменений угловых скоростей или их пренебрежении.

– По свойству оператора Лапласа Ѳ сумма диагональных элементов тензора гравитационного поля Земли равна нулю, т.е.:

(5.26)

Напомним, что выражение (5.26) (уравнение Лапласа) дает одну из четырех зависимостей между элементами тензора гравитационного поля Земли. Остальные три получаются из свойства безвихревого поля (гл.1.п.1.2.7), в котором ротор такого поля равен нулю.

(5.27)

– Если сложить диагональные элементы левой части уравнений (5.21) и учесть уравнение Лапласа (5.26), то получим следующее выражение:

(5.28)

– Переход от одной декартовой системы к другой выполняется по правилам преобразования тензоров второго ранга для матриц и , и если матрица преобразования при переходе от системы 1 к системе 2 ,то преобразования выполняются по формулам и .