Вывод уравнения движения для системы «спутник–спутник», когда измеряются расстояния, скорости и ускорения (Общий случай – разные орбиты)

Рис 5.3.

На рис.5.3 S₁ и S₂ изображены 2 спутника, расположенные на разных орбитах. Мгновенные положения их определяют радиусы–векторы и ,а мгновенные скорости – . Остальные изображения и обозначения будут объяснены ниже.

Из рис.5.3 имеем

. (5.57)

Введем обозначения

. (5.58)

Взаимную скорость между спутниками можно представить в виде скалярного произведения

(5.59)

где – единичный радиус–вектор изображенный на рис.1 и определяемый по формуле

. (5.60)

В самом деле, продифференцировав очевидное выражение , получаем следующее выражение .Но последнее слагаемое равно нулю, так как производная по любой переменной от единичного радиуса–вектора будет производить только его вращения, не меняя модуля (он всегда равен 1), а поэтому все производные будут лежать в касательных плоскостях к сфере единичного радиуса и, следовательно, все будут перпендикулярны к .

Продифференцировав выражение (5.59), имеем

. (5.61)

Преобразуем выражение (5.61). С этой целью рассмотрим более подробно выражение . Используя (5.60) и продифференцировав его по t ,получим его явное выражение в следующем виде [1]:

. (5.62)

Второе слагаемое выражения (5.61) представляет собой вектор . Но , поэтому второе слагаемое можно представить в следующем виде . С учетом вышесказанного, выражение (5.62) принимает следующий вид

. (5.63)

Но векторный треугольник, изображенный в правой части рис.1.,показывает что в скобке стоит алгебраическая сумма векторов и , которые представляют собой некий третий вектор , который изображен так же на рис.1. Согласно [1] , имеем

. (5.64)

Подставив полученное выражение (5.64) в выражение (5.61) ,имеем следующее равенство

. (5.65)

Выражения (5.59) и (5.65) приведены в [3] и [15] и они являются уравнениями связи измеренных и определяемых величин.