Явный вид элементов тензора гравитационного поля Земли и его выражение в различных системах координат

Запишем потенциал гравитационного поля Земли в следующем виде

(5.29)

где в (5.29) приняты следующие обозначения: m= fM, r₀, – средний экваториальный радиус Земли, r, q = 90–j, l – геоцентрические, сферические координаты текущей точки, P_lm(cosq) – полностью нормированные присоединенные функции Лежандра, –также полностью нормированные коэффициенты гравитационного поля Земли. Дифференцируя выражения (5.29) в сферической системе координат (r, q, l) легко получить первые производные от возмущающего потенциала R:

, (5.30)

, (5.31)

. (5.32)

Все три производные первого порядка (5.30)–(5.32) имеют те же обозначения, что и выражение (5.29). В выражении (5.31) введено обозначение , где x=сos и при дифференцировании Р, как сложной функции, имеем .

Вторые производные будут иметь следующий вид:

, ,

, ,

. (5.33)

Кроме того, приведем уравнение Лежандра, связывающее присоединенные функции Лежандра и их первые и вторые производные по x. Имеем

. (5.34)

а). Выражения тензора геопотенциала в локальной системе координат

Введем локальную систему координат начало которой совместим с пробной массой m,имеющей координаты (r, q, l), а ось mx направим по касательной к меридиану из точки m в сторону северного полюса, ось my направим перпендикулярно оси m по касательной к параллели из точки m в сторону Востока, ось mz, дополняя систему до правой, будет направлена в сторону центра масс Земли. В этой системе координат вторые производные будут иметь вид:

Выражения вторых производных геопотенциала в локальной системе координат (5.35) являются элементами тензора потенциала притяжения U в локальной системе координат.

b).Связь тензоров, выраженных в инструментальной и локальной системах координат

Преобразование элементов любого тензора геопотенциала Т(U) от системы 2 к системе 1 выполняют по известной формуле

, (5.36)

где П₂₁ есть матрица преобразования системы 2 в систему 1.

Введем инструментальную систему, связанную с бортовым градиентометром. Будем полагать, что положение пробных масс с необходимой точностью известно по отношению к центру масс спутника. Поэтому начало инструментальной системы совместим с центром масс спутника m.

Ось mx_i совместим с вектором скорости спутника , my_i совместим с вектором интеграла площадей (вектор момента количества движения или, по другой терминологии ,вектор момента скорости), направив его в противоположную сторону вектору , третья ось mzⁱ, дополняя систему до правой, будет совпадать с вектором, который образуют векторным произведением , где .

Используя свойство скалярного произведения, найдём углы между соответствующими осями локальной и инструментальной системами координат.

Угол между осями mx_i и my_i определяется углом между плоскостью орбиты и плоскостью меридиана, а он находится из скалярного произведения нормалей к этим плоскостям

, (5.37)

где – нормаль к орбите и на основании (1) и (3) имеет вид , а , являющейся нормалью к меридиану, выражается формулой .

Из скалярного произведения векторов и находим .

Угол между осями и является углом между плоскостями орбиты и параллели, а нормаль к параллели (или касательная к меридиану) имеет вид , а вектор представлен выше.

Из скалярного произведения векторов и имеем

(5.38)

откуда, аналогично предыдущему, получим .

Угол между осями и – это угол между радиус–вектором и вектором . Угол также находится из скалярного произведения этих векторов аналогично предыдущему

. (5.39)

Выражение (5.39), выраженное через элементы орбиты, имеет громоздкий вид, поэтому его проще получать по формуле (5.39) в численном виде или получать явную формулу в программной среде МаthCAD или MathLab.

Совмещение осей инерциальной системы и локальной проводят в следующем порядке:

1. Вращая по часовой стрелке на угол b вокруг оси mz_l, совмещают ось my_i с осью my_l при помощи матрицы вращения вида

; (5.40)

2. Осуществляя поворот на угол g вокруг ранее совмещенных my_li, совмещают mz_i с mz_l матрицей вида

; (5.41)

3. Поворотом вокруг оси mz по часовой стрелке на угол 360 – a, совмещают оси mx_i и my_i при помощи матрицы вращения

. (5.42)

Преобразование тензора будет иметь вид

, (5.43)

где даются формулами (5.40)–(5.42).Получить матрицу П_il в виде замкнутой формулы возможно в программной среде MathCad или MathLab, но такое выражение не имеет практической ценности в виду его громоздкости. Весьма просто такие операции реализуются в численном виде в вышеуказанных вычислительных средах. Обратные зависимости получают из выражения

. (5.44)

Таким образом, преобразования элементов матрицы из локальной системы в инструментальную и обратно даются формулами (5.41)–(5.44).