Линеаризация уравнений связи

Предположим, что мы измеряли взаимные скорости ускорения на моменты (на самом деле мы их вычислили на основании измеренных расстояний и времени , где п–моменты измерений).

Кроме того, на эти же моменты времени вычислены взаимные скорости и ускорения с использованием теории движения ИСЗ и приближенной модели гравитационного поля Земли, т.е. и . Взяв между ними разность и разложив в ряд Тейлора, сохранив только линейные члены, мы получим исходные уравнения для поправок. Таким образом, имеем для уравнения (5.59)

. (5.66)

Обозначив и через , мы для частной производной по стоксовым постоянным получим следующее выражение

. (5.67)

Аналогично и для относительных ускорений получим следующее выражение

(5.68)

Запишем выражение (5.67) без вектора , так как оно будет удобнее при дифференцировании по . Подставив вектор и перемножив скалярно, имеем

(5.69)

Исходные уравнения оправок для скорости (относительно друг друга) имеют вид

(5.70)

а уравнения поправок для ускорений

, (5.71)

где –любая из стоксовых постоянных,

, а . (5.72)

Проверим, приведенные в [3], выражения (5.70)–(5.71).

Исходные уравнения для поправок взаимных скоростей.

Из (5.66)–(5.67) имеем

(5.73)

Рассмотрим выражение и продифференцируем его по s_lm. Имеем .

Помножим обе части векторного равенства скалярно на . Получим следующее выражение .

Но второе слагаемое равно 0,так как оно представляет скалярное произведение двух взаимно перпендикулярных векторов по причине, о которой было сказано выше. Поэтому имеем

. (5.74)

Возвращаясь к выражению (5.73), которое с учетом (5.74) можно переписать

, (5.75)

После несложных преобразований, выражение (5.75) приобретает вид

. (5.76)

Из выражения , помножив его скалярно на , получим

. (5.77)

Подставив в (25.77) во второе слагаемое в скобках выражения (5.75) и заменив вектор через произведение модуля на единичный вектор, мы получаем в скобках вектор и окончательно исходное уравнения поправок скоростей спутников относительно друг друга принимает вид

. (5.78)

Выражение (5.78) служит исходным для составления уравнения поправок.

Исходные уравнения поправок для взаимных ускорений

Второе уравнение, для получения поправок с использованием ускорений и уравнения (5.71), принимает вид

. (5.79)

Для формирования коэффициентов в исходных уравнениях поправок продифференцируем каждое слагаемое выражения (5.79) отдельно:

первое слагаемое

, (5.80)

второе слагаемое

, (5.81)

третье слагаемое

(5.82)

Теперь, объединив коэффициенты в уравнении (5.79) при одинаковых производных, можно его представить в виде:

(5.83)

Учитывая, что

(5.84)

квадрат вектора скорости можно записать в виде

. (5.85)

Тогда уравнение (5.83) принимает окончательный вид:

(5.86)

Выражение (5.86) и является исходным для составления уравнения поправок для ускорений.