Преобразование разности уравнений движения спутников по отношению друг к другу

Из векторного треугольника m₁m₂O, где O центр масс Земли (на рис. 5.2 не отображен) имеем

(5.47)

В уравнении движения (5.46) заменим на основании (5.47) и разложим скалярную функцию от векторного аргумента в точке m₁ в ряд Тейлора. Имеем следующее выражение

(5.48)

Подставляя (5.48) в уравнение движения (5.46), произведя сокращение и ограничившись линейными членами, получим

(5.49)

Используя правила применения оператора Ñ к скалярному произведению векторных величин Ñ и выражения (5.49), получим следующее выражение

(5.50)

Рассмотрим каждое из четырех полученных слагаемых (5.50). Первое слагаемое имеет в матричной форме следующий вид:

(5.51)

Принимая во внимание, что , второе слагаемое в матричной форме запишется так:

, (5.52)

Третье и четвертое слагаемые равны нулю, так как потенциал является безвихревым полем и следовательно, ротор такого поля всегда равен 0 (см.гл.1,п.1.2.7.). Таким образом, с учетом выражений (5.51),(5.52) и вышесказанных замечаний разность уравнений движения для двух спутников преобразуется к виду

(5.53)

Выражение есть градиент силы тяжести в точке m₁ и это выражение является тензором гравитационного поля Земли. В матричной форме выражение (5.53) будет иметь следующий вид:

(5.54)

Это и есть уравнения описывающее движение спутника m₂ относительно спутника m₁. В координатной форме можно записать:

Уравнения (5.53)–(5.55) аналогичны классическим уравнениям движения, но с той разницей, что в правых частях стоят вторые производные от U, а не первые, как в классических уравнениях.

В заключение отметим следующие уравнения (5.53)–(5.55) являются приближенными уравнениями, т.к. во–первых, в разложении (5.48) мы ограничились линейными членами, а во–вторых, расстояние Dr (более 100км.), что составляет только 10^–2от расстояния до центра масс Земли.

Поэтому уравнения (5.53–5.55) можно использовать только для приближенных, априорных оценок. Возможно, в этом случае понадобится учет и вторых разностей. Запишем их отдельно от уравнений (5.53)–(5.55), а именно, проделав ту же операцию, что и с линейными членами и следуя правилу применения оператора Ñ к скалярному произведению, имеем:

(5.56)

Как следует из (5.41) имеем дело с тензором третьего ранга от гравитационного поля Земли, т.е. третьими производными от геопотенциала.