Учет вращения спутника вокруг собственного центра масс

Уравнение (5.7) описывает бесконечно малые изменения ускорения ИСЗ в любой точке орбиты, в инерциальной системе координат. В действительности спутник, а следовательно, и пробные массы градиентоментра, находящегося на борту, вращаются с некоторой угловой скоростью , что создает дополнительное ускорение. Обозначим через скорость спутника в инерциальной системе координат, а через – во вращающейся системе.

На основании теоремы Эйлера о распределении скоростей имеем:

= + [ ] (5.8)

где является величиной изменения скорости в инерциальной системе координат (переносная скорость) за счет вращения спутника. Продифференцировав (5.8) по t, имеем

(5.9)

Из соотношения (5.8) находим выражение для скорости и подставляем в (5.9). Имеем

, (5.10)

но, из–за замены на основании выражения (5.8), в правую часть уравнения (5.10) вошла скорость , то есть скорость во вращающейся системе координат. Вследствие медленного вращения спутника, мы можем записать для радиус–вектора и скорости выражения и тогда

. (5.11)

Эти выражения позволяют нам в правой части (5.10) заменить на (с точностью до величин второго порядка малости). Если окажется удобным в правой части (5.10)использовать измеренный радиус–вектор , то на основании первого выражения (5.11) можно с вышеуказанной точностью перейти к и _{в правой части выражения (5.10). С учетом высказанных соображений выражение (5.10) принимает следующий вид:}

(5.12)

В выражении (5.12) первое слагаемое есть переносное ускорение, второе слагаемое кориолисово ускорение, третье слагаемое центробежное ускорение.

Все три ускорения есть следствие вращения спутника с угловой скоростью . Из теории вращений известно, что если векторные величины являются параметрическими функциями (в нашем случае они – функции времени), то векторные произведения могут быть заменены произведением кососимметрической матрицы и матрицы–столбца.

, (5.13)

где W – кососимметрическая матрица вида

. (5.14)

Кроме того

. (5.15)

С учетом выражений (5.13 – 5.15) уравнение движения (5.12), которое представляет собой уравнение движения вращающейся частицы с угловой скоростью , приобретает вид.

, (5.16)