Непрерывность элементарных функций

Прежде рассмотрим основные элементарные функции, непрерывность которых можно установить, пользуясь теоремой 2 (гл.1, §8, п.8.6).

1. Показательная функция. Функция у = а^х либо монотонно возрастает   (а > 1), либо монотонно убывает (0 < а < 1) при изменении х в промежутке    Р = (–∞,+∞). Ее значения положительны и заполняют весь промежуток Е = (0,+∞), что видно из существования логарифма x = log_a y для любого y > 0. Следовательно, показательная функция непрерывна при любом значении х.

2. Логарифмическая функция у = log_a х (а > 0, а ¹ 1). Ограничиваясь случаем а > 1, видим, что эта функция возрастает при изменении х в промежутке Р = (0,+∞). К тому же она, очевидно, принимает любое значение у из промежутка Е = (–∞, +∞), именно, для х = а^у. Отсюда ее непрерывность.

3. Степенная функция у = х^m при возрастании х от 0 до +¥ возрастает, если m > 0, и убывает, если m < 0. При этом она принимает любое положительное значение у , следовательно, и она непрерывна. Отметим, что если m > 0, то значение 0 включается как в промежуток изменения х, так и в промежуток изменения у; при m < 0 значение 0 не включается. Далее, если m – целое число ±п или дробное  с нечетным знаменателем, то степень х^m можно рассматривать и для х < 0; непрерывность ее для этих значений устанавливается аналогично.

4. Тригонометрические функции.Остановимся сначала на функции sin х. Непрерывность функции y = sin x, скажем, при изменении в промежутке , вытекает из ее монотонности в этом промежутке (гл.1, §4, п.4.4), да еще из того факта (устанавливаемого геометрически), что при этом она принимает каждое значение между –1 и +1. То же относится и к любому промежутку вида

,где k = 0, ±1, ±2, ....

Аналогично устанавливается и непрерывность функции cos x при любом значении х.

Отсюда, по теореме (гл.1, §8, п.8.5) вытекает непрерывность функций

 .

Исключение представляют для первых двух – значения вида , обращающие cos x в 0, а для последних двух – значения вида kp, обращающие sin x в 0.

5. Обратные тригонометрические функции: у = arcsin x, у = arcсоs x,     у = arctg x, у = arcсtg x.Первые две непрерывны в промежутке [–1,+1], а последние – в промежутке (–¥, +¥). Доказательство предоставляем провести самостоятельно.

Резюмируя, можно, таким образом, сказать, что основные элементарные функции оказываются непрерывными во всех точках, где они имеют смысл (т.е. в соответствующих естественных областях их определения).

Исходя из этого, теперь, на основании теорем (гл.1, §8, п.8.5) и (гл.1, §8, п.8.7), мы можем заключить, что и все элементарные функции, построенные из непрерывных основных элементарных функций, также будут непрерывны.