Примеры на нахождение пределов для некоторых неопределенных выражений

1. Пусть функция f (х) = α₀ + α₁х + . . . + α_nхⁿесть многочлен. Применяя утверждения 8 и 9 (§6, п.6.3), а также результаты примера §6, п.6.1, получим

Если х₀ является бесконечно удаленной предельной точкой, то

 ∞

как произведение бесконечно большой величины на ограниченную величину (в круглых скобках все слагаемые, кроме α_n ¹ 0, при х ® ∞ бесконечно малые).

2. Пусть функция  дробно-рациональная. Тогда, используя результаты примера, приведенного выше и утверждение 10 (§6, п.6.3), предполагая, что х₀ не есть корень знаменателя, получим

Если х₀ есть корень знаменателя, но не является корнем числителя, то ∞, как отношение ограниченной величины, отличной от нуля, на бесконечно малую.

Если же х₀ является корнем и числителя, и знаменателя, то имеет место особый случай, обозначаемый как .

    В этом случае многочлены числителя и знаменателя, согласно теоремы Безу (книга 2, гл. 3, §4), делятся на х – х₀ без остатка и следовательно их можно представить в виде

Отсюда, сократив числитель и знаменатель на общий множитель х – х₀ получаем

В зависимости от кратности корня х₀ эту операцию повторяем до тех пор пока х₀ не будет одновременно корнем и числителя, и знаменателя, и тем самым мы не придем к одному из случаев рассмотренных выше.

Теперь найдем предел дробно-рациональной функции при условии, что  х ® ∞. Рассмотрим следующие случаи.

а) Пусть n > m. Тогда, разделив числитель и знаменатель на x^m, находим .

Если теперь перейти к пределу в каждом слагаемом числителя и знаменателя, то в числителе получим бесконечность, а в знаменателе – число b_m, т.е. .

б) Пусть п = т. Тогда, после деления числителя и знаменателя на х^т = х^п, получаем

.

в) Пусть n < m. Тогда, после деления числителя и знаменателя на xⁿ, получаем:

,

поскольку a_n есть конечное число, отличное от нуля, а в знаменателе бесконечно большая величина.

    Таким образом,

.

3. Вычисление предела для иррациональных функций в особых случаях, характеризуемых символами  выполняется, в основном, при помощи:

а) умножения функции f (x) на такую функцию y (x), которая позволяет устранить неопределенность и предел которой равен единице. Например, вычислить предел функции  при х ® ¥. Умножим функцию f (x) на функцию , предел которой при х ® ¥ равен единице. Тогда

б) использования формул:

                            (1.20)

.                           (1.21)

Например, вычислить  Разделим числитель и знаменатель на х и с использованием (1.20) находим

4. При вычислении предела неопределенных выражений, содержащих тригонометрические функции, руководствуются, в основном, следующими соображениями и формулами:

а) функции  и  при стремлении х к ∞ ограничены и предела не имеют. На основание этого

б) функция  при стремлении х к , m = 0, ±1, ±2... бесконечно большая, т.е. .

При  ∞, хотя функции неограниченны, однако предела они не имеют и не являются бесконечно большими. Действительно для этих функций нельзя подобрать такое число d_m > 0, чтобы неравенство |f(х)| > m выполнялось бы для всех х > d_m ;

в)  и

г) если  и  при  то

Например, вычислить  Сначала преобразуем функцию

.

Теперь с учетом в) и г) получаем

.

5. Нахождение предела неопределенных степенно-показательных выражений, а также выражений, в которые входят показательные и логарифмические функции, в некоторых случаях удается провести при помощи следующих формул:

1		2
3		4
5		6

Например, вычислить

Преобразуем функцию, разделив числитель и знаменатель на х – 5. Получим

Теперь с учетом вышеприведенных формул, находим

§7. КЛАССИФИКАЦИЯ БЕСКОНЕЧНО МАЛЫХ И БЕСКОНЕЧНО БОЛЬШИХ ФУНКЦИЙ ОДНОГО ДЕЙСТВИТЕЛЬНОГО ПЕРЕМЕННОГО

Сравнение бесконечно малых

Пусть функции f (x) и y (x) определены и не равны нулю в некоторой окрестности точки х₀. Кроме того, при х ® х₀ они являются бесконечно малыми, т.е. .

Во многих случаях представляет интерес сравнение названых бесконечно малых между собой по характеру их приближения к нулю. В основу сравнения двух бесконечно малых f (x) и y (x) кладется поведение их отношения.

Если  существует, то бесконечно малые f (x) и y (x) называются сравнимыми, если же этот предел не существует, то бесконечно малые f (x) и y (x) называются несравнимыми. Например, если взять y (x) = х и , то их отношение, равное  при х ® 0 предела не имеет и, следовательно, такие две бесконечно малые несравнимы между собой.

Для сравнимых бесконечно малых функций устанавливаются следующие два соглашения:

1. Если отношение  (а с ним и ) имеет конечный и отличный от нуля предел при х®х₀, то бесконечно малые f (x) и y (x) считаются бесконечно малыми одного порядка малости:

.

2. Если же отношение  стремится к нулю (а отношение  – к ∞) при х ® х₀, то бесконечно малая f (x) считается бесконечно малой высшего порядка малости, чем бесконечно малая y (x), и одновременно бесконечно малая y (x) будет низшегопорядка малости, чем бесконечно малая f (x).

Например, если y (x) = х (х₀ = 0), то по сравнению с этой бесконечно малой одного порядка с нею будут и бесконечно малые , ибо, как мы знаем (§6, п.6.4),

.

Наоборот, бесконечно малые

                  (1.22)

будут, очевидно, высшего порядка, чем х.

Заметим, что если бесконечно малая f (x) оказывается высшего порядка, чем бесконечно малая y (x), то этот факт записывают так: . Например, можно писать:  и т.п. Таким образом, символ  служит общим обозначением для бесконечно малой высшего порядка, чем y (x).

Для более точной сравнительной характеристики поведения бесконечно малых вводят шкалу сравнения бесконечно малых функций, обеспечивающей выражение порядков их – числами.

Определение 1.Уславливаются считать бесконечно малую функцию f (x) бесконечно малой к-го порядка малости относительно бесконечно малой функции y (x) при х®х₀, если f (x) и  будут бесконечно малыми одного порядка малости, т.е. если .

Теперь, например, можно, не довольствуясь утверждением, что бесконечно малые (1.22) (при х ® 0) будут бесконечно малыми высшего порядка малости, чем y (x) = х, сказать точно, что первые две из них суть бесконечно малые второго порядка, а последняя – третьего порядка малости относительно y (x) = х, ибо

 .

Остановимся теперь на одном особенно важном частном случае бесконечно малых одного порядка.

Определение 2. Две бесконечно малые функции f (x) и y (x) при х ® х₀ называются эквивалентными, если их разность g (x) = f (x) – y (x) оказывается бесконечно малой функцией более высокого порядка малости, нежели они сами.

Установим полезный критерий эквивалентности двух бесконечно малых, который, в сущности, дает второе определение этого понятия, равносильное данному ранее:

Для того, чтобы две бесконечно малые функции f (x) и y (x) были эквивалентны, необходимо и достаточно, чтобы предел их отношения при х®х₀ был равен единице, т.е. .

Эквивалентность функций f(x) и y (x) при х® х₀ обозначают f(x) ~ y (x).

Основные свойства эквивалентности бесконечно малых функций сводятся к следующим:

1.

2. Если то

3. Если и то

4. При достаточно малых значениях  и можно со сколь угодно большой относительной точностью положить  = . На этом основана, при приближенных выкладках, замена сложных бесконечно малых эквивалентными им простыми.

Так, например, при раскрытии неопределенности вида , т.е. при разыскании предела отношения двух бесконечно малых функций , при , каждая из них при этом может быть заменена, без влияния на предел, любой эквивалентной ей бесконечно малой функцией. Действительно, если  и , т.е.  и , то

.

Примеры. 1. Найти . Поскольку  и  при , то

2. Найти

При , Тогда,