Студопедия КАТЕГОРИИ: АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция |
Классификация бесконечно больших
Для бесконечно больших функций может быть развита подобная классификация, как и для бесконечно малых. 1. Две бесконечно большие функции f (x) и y (x) при х ® х0 считаются бесконечно большими функциями одного порядка, если их отношение (а с ним и ) имеет конечный и отличный от нуля предел при х ® х0. 2. Если же отношение стремится к ∞ (а обратное отношение – к нулю) при х ® х0, то f (x) считается бесконечно большой функцией высшего порядка, чем y (x), и одновременно, y (x) будет бесконечно большой функцией низшего порядка чем f (x). В случае, когда отношение при х ® х0 ни к какому пределу не стремится, бесконечно большие функции f (x) и y (x) будут несравнимы. 3. Бесконечно большая функция f (x) называется бесконечно большой k-го порядка относительно бесконечно большой функции y (x) при х®х0 , если f (x) и будут бесконечно большими при х ® х0 одного порядка, т.е. если
УПРАЖНЕНИЯ 1. Найти пределы функций: а) ; б) ; в) ; г) ; д) ; е) ; ж) ; з) ; и) ; к) ; л) ; м) ; н) ; о) . 2. Является ли функция бесконечно большой, если и бесконечно малой если при ? 3. Доказать, что функции есть бесконечно большими: а)
НЕПРЕРЫВНОСТЬ (И РАЗРЫВЫ) ФУНКЦИИ ОДНОГО ДЕЙСТВИТЕЛЬНОГО ПЕРЕМЕННОГО Определение непрерывности функции в точке Функция называется непрерывной в некоторой точке х0, если: 1) функция определена в точке х0 и ее окрестности; 2) существует предел функции при х ® х0, который равен значению функции в точке х0. . (1.23) Равенство (1.23) показывает, что для непрерывных в точке функций знак характеристики функции и знак предела можно менять местами. Здесь . Определение непрерывности функции можно сформулировать в других терминах. Переход от значения х0 к другому значению х можно себе представить так, что значению х0 придано приращение Dх0 = х – х0. Новое значение функции y = f (x) = f (х0+Dх0) разнится от старого у0 = f (x0) на приращение Dу0 = f (х) – f (x0) = f (х0+Dх0) – f (x0). Для того, чтобы функция f (x) была непрерывна в точке х0, необходимо и достаточно, чтобы ее приращение Dу0 в этой точке стремилось к нулю вместе с приращением Dх0 независимой переменной. Иными словами: непрерывная функция характеризуется тем, что бесконечно малому приращению аргумента отвечает бесконечно малое же приращение функции. Возвращаясь к основному определению (1.23), раскроем его содержание на «языке e – » (1.12). Смысл непрерывности функции f (x) в точке х0 сводится к следующему: каково бы ни было число , для него найдется такое число , что неравенство влечет за собой . Последнее неравенство, таким образом, должно выполняться в достаточно малой окрестности точки х0. Наконец, «на языке последовательностей» (1.13) непрерывность выразится так: какую бы последовательность значений х из окрестности х0: х1,х2,…,хп,…, сходящуюся к х0 , ни взять, соответствующая последовательность значений функции f (х1), f (х2),…, f (хп),… сходится к f (x0). Отметим, что в (1.12) и (1.13) функция f (x) в точке х0 может быть и не определена, но непрерывная в точке х0 функция должна быть определена в этой точке. Поэтому требование |х – х0| > 0 здесь излишне.
Односторонняя непрерывность функции в точке. |
||
Последнее изменение этой страницы: 2018-04-12; просмотров: 370. stydopedya.ru не претендует на авторское право материалов, которые вылажены, но предоставляет бесплатный доступ к ним. В случае нарушения авторского права или персональных данных напишите сюда... |