Студопедия

КАТЕГОРИИ:

АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция

Классификация бесконечно больших

⇐ ПредыдущаяСтр 21 из 27Следующая ⇒

 

Для бесконечно больших функций может быть развита подобная классификация, как и для бесконечно малых.

1. Две бесконечно большие функции f (x) и y (x) при х ® х0 считаются бесконечно большими функциями одного порядка, если их отношение  (а с ним и ) имеет конечный и отличный от нуля предел при х ® х0.

2. Если же отношение  стремится к ∞ (а обратное отношение  – к нулю) при х ® х0, то f (x) считается бесконечно большой функцией высшего порядка, чем y (x), и одновременно, y (x) будет бесконечно большой функцией низшего порядка чем f (x).

В случае, когда отношение  при х ® х0 ни к какому пределу не стремится, бесконечно большие функции f (x) и y (x) будут несравнимы.

3. Бесконечно большая функция f (x) называется бесконечно большой k-го порядка относительно бесконечно большой функции y (x) при х®х0 , если f (x) и  будут бесконечно большими при х ® х0 одного порядка, т.е. если

 

УПРАЖНЕНИЯ

1. Найти пределы функций:

а) ;        б) ;     в) ;

г) ;          д) ;       е) ;

ж) ;      з) ;        и) ;

к) ;           л) ;       м) ;

н) ;               о) .     

     2. Является ли функция  бесконечно большой, если

и бесконечно малой если  при ?

3. Доказать, что функции  есть бесконечно большими:

а)   

 

НЕПРЕРЫВНОСТЬ (И РАЗРЫВЫ) ФУНКЦИИ ОДНОГО ДЕЙСТВИТЕЛЬНОГО ПЕРЕМЕННОГО

Определение непрерывности функции в точке

Функция  называется непрерывной в некоторой точке х0, если:

1) функция определена в точке х0 и ее окрестности;

2) существует предел функции при х ® х0, который равен значению функции в точке х0.

.                  (1.23)

Равенство (1.23) показывает, что для непрерывных в точке функций знак характеристики функции и знак предела можно менять местами. Здесь .

Определение непрерывности функции можно сформулировать в других терминах. Переход от значения х0 к другому значению х можно себе представить так, что значению х0 придано приращение Dх0 = х – х0. Новое значение функции y = f (x) = f (х0+Dх0) разнится от старого у0 = f (x0) на приращение                      Dу0 = f (х) – f (x0) = f (х0+Dх0) – f (x0). Для того, чтобы функция f (x) была непрерывна в точке х0, необходимо и достаточно, чтобы ее приращение Dу0 в этой точке стремилось к нулю вместе с приращением Dх0 независимой переменной. Иными словами: непрерывная функция характеризуется тем, что бесконечно малому приращению аргумента отвечает бесконечно малое же приращение функции.

Возвращаясь к основному определению (1.23), раскроем его содержание на «языке e – » (1.12). Смысл непрерывности функции f (x) в точке х0 сводится к следующему: каково бы ни было число , для него найдется такое число , что неравенство  влечет за собой . Последнее неравенство, таким образом, должно выполняться в достаточно малой окрестности  точки х0.

Наконец, «на языке последовательностей» (1.13) непрерывность выразится так: какую бы последовательность значений х из окрестности х0: х1,х2,…,хп,…, сходящуюся к х0 , ни взять, соответствующая последовательность значений функции f (х1), f (х2),…, f (хп),… сходится к f (x0).

Отметим, что в (1.12) и (1.13) функция f (x) в точке х0 может быть и не определена, но непрерывная в точке х0 функция должна быть определена в этой точке. Поэтому требование |х – х0| > 0 здесь излишне.

 

Односторонняя непрерывность функции в точке.




⇐ Предыдущая16171819202122232425Следующая ⇒






Последнее изменение этой страницы: 2018-04-12; просмотров: 455.

stydopedya.ru не претендует на авторское право материалов, которые вылажены, но предоставляет бесплатный доступ к ним. В случае нарушения авторского права или персональных данных напишите сюда...