Функции, непрерывные в промежутке

Функция f (x) называется непрерывной слева от точки х₀, если:

1) функция определена в точке х₀  и в левой ее полуокрестности;

2) существует предел функции в точке х₀ слева и этот предел равен значению функции в этой точке:

.                         (1.24)

Аналогично определяется непрерывность функции справа от точки х₀. Условие 2) при этом запишется в виде:

                                 (1.25)

Если жех₀есть внутренняя точка промежутка, т.е. функция f (x) определена как слева, так и справа от точки х₀, то для того, чтобы выполнялось равенство (1.23), выражающее непрерывность функции в точке х₀ в обычном смысле, необходимо и достаточно, чтобы имели место оба равенства одновременно: и (1.24), и (1.25). Иными словами, непрерывность функции в точке х₀ равносильна ее непрерывности в этой точке одновременно справа и слева.

Равномерная непрерывность

Предположим, что функция у = f (x) определена и непрерывна во всем промежутке Р (замкнутом или нет, конечном или бесконечном), т.е. непрерывна в каждой точке х₀ÎР. Тогда для каждой точки х₀ из Р в отдельности по заданному  найдется , что  влечет за собой . При изменении х₀ в пределах Р,даже если  неизменно, число d_e , вообще говоря, будет меняться. В достоверности этого можно убедиться из рисунка 14. Число d_e , пригодное на участке, где функция изменяется медленно (график представляет пологую кривую), может оказаться слишком большим для участка быстрого изменения функции (где график круто поднимается или опускается). Иными словами, число d_e вообще зависит не только от e , но и от х₀.

Рис. 14

Таким образом, по отношению к функции f (x), непрерывной в промежутке Р, встает вопрос: существует ли, при заданном e , такое d_e , которое годилось бы для всех точек х₀ из этого промежутка?

Определение. Если для каждого числа e > 0 найдется такое число d_e > 0, что |х–х₀| < d_e влечет за собой |f (x) – f (x₀)| < e , где бы в пределах рассматриваемого промежутка Р ни лежали точки х₀ и х, то функцию f (x) называют равномерно непрерывной в промежутке Р.

В этом случае число d_e оказывается зависимым только от e и может быть указано до выбора точки х₀: d_e годится для всех х₀одновременно.

Равномерная непрерывность означает, что во всех частях промежутка достаточна одна и та же степень близости двух значений аргумента х₁ и х₂, чтобы добиться заданной степени близости соответствующих значений функции f (x₁) и f (x₂), т.е. для любого e > 0 можно найти d_e > 0, зависящее только от e , такое, что х₁и х₂ из промежутка Р, удовлетворяющих неравенству |х₂ – х₁| < d_e , значения функции удовлетворяют неравенству |f (x₂) – f (x₁)| < e .

Непрерывность функции во всех точках промежутка не влечет необходимо за собой ее равномерной непрерывности в этом промежутке. Однако, если этот промежуток Р замкнут, т.е. если Р = [a,b], то справедлива теорема, принадлежащая Кантору и которую мы примем без доказательства.

Теорема Кантора. Если функция f (x) определена и непрерывна в замкнутом промежутке [a,b], то она и равномерно непрерывна в этом промежутке.

8.4. Разрывы функции. Классификация разрывов

Если функция определена в некоторой окрестности точки х₀ и, может быть, в самой точке х₀, однако условия непрерывности в этой точке не выполняются, то точка х₀ называется точкойразрыва функции, а функция называется разрывной.