Например, рассмотрим функцию

Эта функция определена для всех хÎR, но в точке х = х₀ = 0 имеем:

 f(x₀) = 0,

и, следовательно,  

Таким образом, функция sign x в точке x₀ = 0 как справа, так и слева, имеет разрывы первого рода и, поскольку , то точка x₀ является точкой неустранимого разрыва: . Скачки функции в точке x₀ справа и слева равны: . Скачок же функции в точке x₀ составляет: .

2. Функция определена в окрестности точки x₀, но для нее:

а) не существует как односторонних, так и, следовательно, общего предела функции в точке x₀;

б) пределы существуют, но равны бесконечности:

 – разрыв справа;  –  разрыв слева;

 –  разрыв и справа, и слева.

Такие разрывы функции называют разрывами второго рода.

В качестве примера рассмотрим функцию

Эта функция определена для всех хÎR. Найдем односторонние пределы в точке х = х₀ = –2.

,

.

Отсюда следует, что в точке х₀ = –2 справа – разрыв второго рода , а слева – непрерывность .

3. Точка х₀ не принадлежит области определения функции, т.е. функция в этой точке не определена. В этом случае если х₀ есть внутренняя точка области определения функции, то функция имеет разрывы как справа, так и слева от точки х₀.

Рассмотрим две функции . Обе функции не определены в точке х₀ = 0. Следовательно, точка х₀ = 0 является точкой разрыва данных функций.

Для первой из них имеем:   и . Это означает, что в точке х₀ = 0 разрыв второго рода с обеих сторон. Для второй же –

 ,

 в точке х₀ = 0 – с обеих сторон скачки, т.е. разрывы первого рода.