Студопедия КАТЕГОРИИ: АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция |
Распространение теории пределов
Естественно встает вопрос о распространении теории пределов, развитой в предыдущем параграфе применительно к случаю последовательности на рассматриваемый здесь общий случай произвольной числовой функции одного действительного переменного. Для этого можно было бы все теоремы о последовательностях, имеющих предел, и рассмотренные нами в §5, доказать аналогичным образом заново для функций. Однако в этом нет необходимости, так как если, говоря о пределе функции, стоять на «точке зрения последовательностей» (определением предела по Гейне), то, поскольку для последовательностей теоремы доказаны, они верны и для функций. Следовательно, получаем утверждения: 1. Если функция имеет предел в точке х0, то он единственный. 2. Если при стремлении х к x0 функция f(x) имеет конечный предел l, то для значений х, достаточно близких к х0, функция f(x) будет ограниченной: . Переходя к другим теоремам, в которых функции связываются знаками равенства, неравенства или арифметических действий, мы, прежде всего, должны оговорить, что, соединяя две или несколько функций f(x), g(x),… (определенных в одной и той же области Р) такими знаками, мы всегда подразумеваем, что их значения отвечают одному и тому же значению х. 3. Выполняется теорема 3, а также теорема Гурьева (гл.1, §5, п.5.2). Если и , то . 4. Сумма конечного числа бесконечно малых функций есть бесконечно малая функция. 5.Произведение ограниченной функции на бесконечно малую функцию есть функция бесконечно малая. 6. Для того, чтобы число l было пределом функции y = f (x) при х ® х0, необходимо и достаточно, чтобы разность f (x) – l была бесконечно малой функцией, т.е. . 7. Функция, обратная бесконечно большой функции при х®х0 или х®¥, есть функция бесконечно малая при х®х0 или х®¥ и наоборот. 8. Если существуют пределы то 9. При тех же условиях 10. Если то 11. Таким же образом на общий случай, рассматриваемый нами теперь, автоматически переносятся и утверждения, доказанные в §5, п.5.6 и п.5.7 относительно особых случаев. Если известны пределы функций f(x) и ψ(x) (конечные или нет), то на основании этого можно судить о пределах выражений f(x) ± ψ(x), f(x)×ψ(x), и во всех случаях, кроме семи, условно характеризуемых символами , , , , 00, В этих же случаях упомянутые выражения представляют неопределенность, для раскрытия которой уже недостаточно знать лишь пределы функций f(x) и ψ(x), а нужно учесть и самый закон изменения этих функций. Отметим, что, как и для последовательности, предел функции при ∞ также равен е, т.е. Однако для функции можно установить более общий результат: . (1.18) Для этого достаточно доказать, что порознь имеют место соотношения и .
Покажем, что если выполняется первое соотношение, то верно и второе. Для доказательства введем переменную . Поскольку при х ® –∞ имеем t = +∞, тогда Заменим теперь в выражении переменную х на если, придать z последовательность значений, стремящихся к нулю (но не равных нулю), то будет стремиться к ∞. Поэтому формулу (1.18) можно переписать в виде . (1.19).
12. Аналог теоремы о сходимости монотонной последовательности. Пусть функция f (x) монотонно возрастает, хотя бы в широком смысле, в области Р, имеющей точкой сгущения число х0, большее всех значений х (оно может быть конечным или равным +∞). Если при этом функция ограничена сверху: f (x) ≤ μ (для всех х из Р), то при х → х0 функция имеет конечный предел; в противном случае – она стремится к +∞. Предоставляем читателю преобразовать эту теорему для случая, когда предельное значение х0 меньше всех значений х, равно как и для случая монотонно убывающей функции. 13. Общий признак сходимости (распространение теоремы Больцано-Коши на общий случай). Для того чтобы функция f (x) при стремлении х к х0 вообще имела конечный (бесконечный) предел, необходимо и достаточно, чтобы для каждого числа ε > 0 существовало такое число δε > 0, чтобы неравенство выполнялось, лишь только и . (для бесконечного предела и ).
|
||
Последнее изменение этой страницы: 2018-04-12; просмотров: 473. stydopedya.ru не претендует на авторское право материалов, которые вылажены, но предоставляет бесплатный доступ к ним. В случае нарушения авторского права или персональных данных напишите сюда... |