Арифметические операции над непрерывными функциями

Теорема. Если две функции f (x) и g (x) определены в одном и том же промежутке Р и обе непрерывны в точке х₀, то в этой же точке будут непрерывны и функции f (x) ± g (x), f (x)·g (x), , последняя при условии, что g(x) ¹ 0.

Это непосредственно вытекает из теорем о пределе суммы (разности), произведения и частного двух функций, имеющих порознь пределы (гл.1, §6, п.6.3).

Остановимся для примера на частном двух функций. Предположение о непрерывности функций f (x) и g (x) в точке х₀ равносильно наличию равенств

.

Но отсюда, по теореме о пределе частного (так как предел знаменателя не нуль), имеем:

,

а это равенство и означает, что функция  непрерывна в точке х₀.

Следствия. 1. Линейная комбинация непрерывных функций есть функция непрерывная.

2. Произведение конечного числа непрерывных функций есть функция непрерывная.

3. Если f (x) непрерывна, то непрерывна и |f (x)|.

В качестве иллюстрации приложения данной теоремы рассмотрим непрерывность целой и дробной рациональных функций. Функция f (x) = х, очевидно, непрерывна на всем промежутке (-¥,+¥): если х_п ® х₀^, то              f (x_п) = х_п ® х₀ = f (x₀). Точно так же непрерывна и функция, сводящаяся тождественно к постоянной.

Отсюда, на основании вышеприведенной теоремы, вытекает уже непрерывность любого одночленного выражения  как произведения непрерывных функций, а затем и полинома (целой рациональной функции)  как суммы непрерывных функций. Во всех упомянутых случаях непрерывность имеет место во всем промежутке (-∞,+∞).

Очевидно, наконец, что и частное двух полиномов (дробно-рациональная функция):

также будет непрерывно при каждом значении х, кроме тех, которые обращают знаменатель в нуль. Таких точек непременно конечное число, поскольку число корней целой рациональной функции не более наивысшего показателя степени многочлена, стоящего в знаменателе. Причем, это точки разрыва второго рода.