Непрерывность и разрывы монотонной функции

Рассмотрим функцию f (x), которая, – при изменении х в промежутке Р – монотонно возрастает (убывает) хотя бы в широком смысле (гл.1, §4, п.4.4). По отношению к таким функциям имеет место следующая теорема.

Теорема 1. Монотонно убывающая (возрастающая) функция f(x) может иметь в Р разве лишь разрывы первого рода, т.е. скачки.

Возьмем любую точку х₀ промежутка Р, и пусть она не является левым концом этого промежутка. Рассматривая ту часть промежутка, которая лежит влево от х₀, применим к ней теорему 12 из §6, п.6.3 о пределе монотонной функции: поскольку для х < х₀, очевидно, f (x) ≤ f (x₀), то существует конечный предел .

Если он совпадает со значением f (x₀), то слева в точке х₀ функция непрерывна; в противном случае – налицо скачок.

Аналогично убеждаемся в том, что в каждой точке х₀ промежутка Р (не служащей правым его концом) справа тоже либо имеет место непрерывность, либо скачок.

С помощью доказанной теоремы легко установить критерий непрерывности монотонной функции.

Теорема 2. Если значения монотонно возрастающей (убывающей) в промежутке Р функции f (x) содержатся в промежутке Е и сплошь заполняют его (так что каждое значение у из Е принимается функцией хоть раз), то эта функция непрерывна в Р.

Допустим, что в какой-нибудь точке х₀ из Р функция f (x) имеет разрыв, например, слева; как мы видели, этот разрыв может быть только скачком. В этом случае существует предел f (x₀ – 0), но он меньше значения f (x₀). Так как для  будет  а для  очевидно, то функция не может принимать значений у, лежащих между числами  и f (x₀), принадлежащих промежутку Е. Это противоречит условию теоремы; значит, функция  разрывов не имеет.

Непрерывность сложной функции

Теорема. Пусть функция j (у) определена в промежутке Е, а функция f (х) – в промежутке Р, причем значения последней функции не выходят за пределы Е, когда х изменяется в Р. Если f (х) непрерывна в точке х₀ из Р, а j (у) непрерывна в соответствующей точке у₀ = f (х₀) из Е, то и сложная функция j [f (х)] будет непрерывна в точке х₀.

Доказательство. Зададимся произвольным числом  > 0. Так как j (у) непрерывна при у = у₀, то по  найдется такое d > 0, что из |у – у₀| < d следует

|j (у) – j (у₀)| < .

С другой стороны, ввиду непрерывности f (x) при х = х₀, по d найдется такое s > 0, что из |х – х₀| < s следует |f (x) – f (x₀)| = | у –у₀| < d .

По самому выбору числа d отсюда следует далее

.

Этим "на языке " и доказана непрерывность функции  в точке х₀.