Определение и геометрическое истолкование предела функции

    Пусть f – числовая функция переменного х, определенная на числовом множестве P, для которого х₀ является точкой сгущения. Нас будет интересовать, как ведут себя значения y = f(x) функции f, когда аргумент х стремится к х₀.

    Определение 1(предел функции по Коши). Постоянное число l называют пределом функции f переменного х при стремлении х к х₀ (или в точке х₀), если для каждого  найдется такое число , зависящее от , что , лишь только

                                        (1.12)

где х взято из области определения Р функции f и отлично от точки сгущения х₀ множества Р.

    Определение 2(предел функции по Гейне).Постоянное число l называют пределом функции f переменного х, если для любой последовательности значений аргумента х₁,х₂,…,х_п,… из области определения P функции f, имеющей пределом число х₀  где х₀ может и не принадлежать области Р), последовательность значений функции f(x₁), f(x₂), …, f(x_п), … для этих значений аргумента имеет пределом число l, .

    Эти два определения предела функции равносильны. Тот факт, что l является пределом функции f(x) при х ® х₀, записывают так:

.                                     (1.13)

Геометрическое определение предела функции можно истолковать следующим образом.

Число l является пределом функции f(x) при х ® х₀, если для любой -окрестности точки l можно найти такую d-окрестность точки х₀, что если значения аргумента взяты из d-окрестности (х₀ – d, х₀ + d), то значения функции лежат в - окрестности (l – , l + ) (рис.13).

Рис. 13

На рис.13 сплошной кривой показаны точки графика функции f(x), для которых координата (х₀ –d, х₀+d), а уÎ(l– ,l+ ). В точке х₀ значение функции может быть и не определено, поэтому эта точка на рисунке выделена кружочком и это означает тот факт, что принадлежность этой точки графику не является обязательным.

Пример. Доказать, что . Пусть задано любое . Найдем  такое, что для всех х, удовлетворяющих неравенствам  выполняется неравенство . Условие  означает, что х ¹ 2.

Преобразуем неравенство .

.

Допустим, что функция f(x) определена в некоторой окрестности точки 2, например, (0,4). С учетом этого

или  .

Таким образом, если положить , тогда для всех (0,4), для которых выполняется условие , справедливо неравенство , а это означает, что .

6.2. Односторонние и бесконечные пределы функции

Если область определения Р функции f(x) такова, что в любой близости от х₀, но справа от х₀, найдутся отличные от х₀ значения х из Р (в этом случае точку х₀ называют правой точкой сгущения для Р), то можно специализировать только что данные определения предела функции, ограничившись лишь значениями . В этом случае предел функции, если он существует, называется пределом функции f(x) при стремлении х к х₀ справа, или, короче, пределом (в точке х₀) справа и обозначается символом .

Аналогично устанавливается понятие о левой точке сгущения и о пределе функции при стремлении х к х₀ слева или о пределе (в точке х₀) слева: .

Если точка х₀ является одновременно точкой сгущения для Р и правой, и левой, то, как легко установить, для существования предела (1.13) необходимо и достаточно существование порознь и равенство пределов справа и слева:

 = = l.                            (1.14)

Когда х₀ = 0, вместо 0 + 0 (0 – 0) пишут +0 (–0).

При стремлении х к конечному пределу х₀ функция может иметь и бесконечный предел (без знака или определенного знака).

Определение 1.Функция f(x) имеет пределом ¥ при стремлении х к х₀  (в точке х₀), если для каждого числа m > 0 найдется такое число d_m > 0, зависящее от m, что

, лишь только                 (1.15)

(где, как и всегда, х взято из Р и отлично от х₀).

Если при этом функция f(x) для достаточно близких к х₀ значений х сохраняет положительный (отрицательный) знак, так что первое из неравенств (1.15) может быть заменено более узким: f(x) > m (f(x) < m), то говорят о пределе +∞ (–∞).

Запись этих фактов аналогична (1.13): .

Для рассмотренного случая могут быть повторены сделанные выше замечания относительно односторонних пределов справа и слева.

Если множество Р содержит сколь угодно большие (по абсолютной величине) значения х (множество Р неограниченно), то говорят, что ¥ является точкой сгущения для Р. В этом предположении дадим следующее определение.

Определение 2. Функция f(x) при стремлении х к ∞ имеет предел l, если, каково бы ни было число , для него существует такое число , зависящее от , что

, лишь только ,                       (1.16)

(где х берется из Р). При этом пишут: .

Если рассматриваются лишь положительные (или лишь отрицательные) значения х, то говорят о пределе функции при стремлении х к +¥ (или к –¥).

Наконец, легко перефразировать все сказанное на случай l = ¥, +¥ или –¥.

При стремлении функции f(x) к нулю ее называют бесконечно малой; ее называют бесконечно большой, если f(x) стремится к ¥. Если последнее обстоятельство имеет место при х ® х₀, то говорят также, что в точке х₀ функция обращается в бесконечность.

Пример 1. Рассмотрим функцию

Очевидно, .

Отсюда, на основании (1.14), можно заключить, что  не существует.

Пример 2. Докажем, что  (при а > 1).

При любом m > 0 достаточно взять d_m = log_a m, чтобы х > d_m влекло за собой а^х > m, что и доказывает наше утверждение.

Аналогично доказывается, что  (при а > 1).

Именно, каково бы ни было , если взять , то при  необходимо .

Если же 0 < а < 1, то с помощью преобразования  легко установить результаты

 (при 0 < а < 1).

Основываясь на этих случаях, можно показать, что  (при а > 0 и а ¹ 1) и, следовательно, функция f(x) = а^х при х ® ¥ является бесконечно большой. Однако, если х ® –¥ (при а > 1) и х ® +¥ (при 0 < а < 1), то функция f(x) = а^х является бесконечно малой.

Пример 3. Руководствуясь примером 2, легко установить, что:

         (при а > 1);  (при 0 < а < 1);

            (при а > 1);  (при 0 < а < 1).

Следовательно, функция  (при а > 0 и а ¹ 1) при х ® +¥ и  х ® +0 является бесконечно большой, т.е.  и .

Пример 4. Показать, что функция  при х ® 0 является бесконечно большой, т.е. .

Пусть задано m > 0. Найдем такую d_m - окрестность нуля, что при всех х из этой окрестности (х ¹ 0) выполняется неравенство .

Рассмотрим неравенство . Из этого неравенства следует:

.

Положив , получим, что, как только , имеем , а это значит, что ∞.

Заметим, что ; . Однако несмотря на это условие (1.14) для существования предела в точке х₀ = 0 считается выполненным l =∞.