Принцип сходимости последовательности

Зададимся теперь вопросом об общем признаке существования конечного предела любой последовательности, т.е. отысканием такого условия для сходимости последовательности, которое обладало бы свойством необходимости и достаточности.

Поставленную задачу решает теорема Больцано-Коши, которую часто называют также принципом сходимости.

Теорема (Больцано-Коши).Для того чтобы последовательность  вообще имела конечный предел, необходимо и достаточно, чтобы для каждого  существовал такой номер , чтобы неравенство выполнялось лишь только .

Суть дела здесь в том, чтобы значения последовательности между собой безгранично сближались по мере возрастания их номера.

Доказательство теоремы опускаем.

УПРАЖНЕНИЯ

1. Доказать, что множество  ограничено.

2. Дана последовательность с общим членом .

а) Доказать, что ;

б) Будет ли эта последовательность монотонной?

в) Найдите sup y_n и inf y_n.

3. Дана последовательность с общим членом . Пользуясь вторым определением предела, доказать, что .

4. Доказать, что функции y = sin x и y = tg x периодические и определить их  

периоды.

5. Найдите пределы:

а) ;       б) ;

в) ;     г)

6. Доказать, что

7. Является ли последовательность бесконечно большой?

8. При каких условиях параметрические уравнения:

а) ;  б) ; в) ; г)

определяют функцию y = f(x)? Найти явный вид этих функций, а также уравнения F(x, y) = 0, посредством которых эти функции заданы неявно.

ПРЕДЕЛ ЧИСЛОВОЙ ФУНКЦИИ ОДНОГО ДЕЙСТВИТЕЛЬНОГО ПЕРЕМЕННОГО