Сингулярное разложение матриц

Теорема (Cингулярное разложение). Любая матрица ранга r может быть представлена в виде

где , – унитарные матр.,  – диагональная прямоугольная матр. с невозрастающими неотрицательными элементами по диагонали. При этом

· диагональные элементы σ_ii являются сингулярными числами матрицы A;

· столбцы матрицы U образуют ортонормированный базис из собственных векторов матрицы AA^∗;

· столбцы матрицы V образуют ортонормированный базис из собственных векторов матрицы ;

Доказательство. Согласно свойству 70 знакоопределенных матриц эрмитова матрица A^∗A являетсяположительнополуопределённой. Пусть σ²₁,…, σ²_n – собственные значения матрицы причем σ_i упорядочены.Пусть v₁, . . . ,v_n– собственные векторы матрицы , соответствующие σ²₁,…, σ²_n. Из спектральной теоремы для нормальныхматниц следует, что v₁,…, v_nможно выбрать ортонормированными.

По системе векторов v₁,…, v_nпостроим второй сингулярный базис u₁,…, u_m(если r<m, то систему ортонормированных векторов u₁,…, u_rдобавим до ортонормированного базиса в m-мерном пространстве.

Составим из векторов v₁,…, v_nи u₁,…, u_mдве унитарные матрицы: V ={v₁,…, v_n}∈ , U ={ и u₁,…, u_m}∈ . Составим также диагональную матрицу Σ=diag{σ₁, . . . ,σ_n}. Тогда A=UΣV^∗.

Полярное разложение матриц

Теорема (Полярное разложение). Если A∈ , то существуют положительно полуопределенные эрмитовы матрицы H и K, однозначно определяемые матрицей A, и унитарные матрицы W и Y из , такие что

Более того, .

Доказательство. Положим (2),

Где U,V – матрицы из сингулярного разложения (1). Несложно проверить, что W – унитарная матрица, а H – положительно полуопределенная эрмитова матрица. Тогда имеем:

Далее, так как  =, то верно и .

Применяя полученный результат к , получим

.

Векторные нормы. Непрерывность векторных норм

Векторная норма: функция :

1) (неотрицательность);

1а)  (невырожденность);

2)  (абсолютная однородность);

3) (неравенство треугольника).

Векторная полунорма: выполняются 1),2),3),но не обязательно 1а)

Определение. Вектор, норма которого равна единице, называется нормированным.

Любой ненулевой вектор x можно нормировать, умножив его на число λ=||x||^-1

Примеры векторных норм наCⁿ.

Евклидова норма(I₂, 2-норма) ||x||₂=(

Абсолютная норма(I_1, 1-норма, Манхеттен-норма) ||x||₁

Максимальная норма(I_∞, ∞-норма)||x||_∞

Норма Гёльдерас показателем р(I_p – норма)

||x||_p

Теорема(о непрерывности нормы)

Векторная норма ||•||непрерывно зависит от элементов вектора, т.е. для заданного ε > 0 ∃δ(ε) > 0, такое что | ||x|| - ||y|| | < ε, как только|x_i −y_i| <δ(ε) для всех индексов i.

Доказательство. Пусть x,y∈Cⁿ заданные векторы.

Используя единичные векторы e_i, можно представить

Определим число k =max||e_i||>0. Тогда справедлива цепочка соотношений:

Для заданного ε определим и рассмотрим x и y, для которых | | <δ, i=1,n. Тогда