Студопедия

КАТЕГОРИИ:

АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция

Эквивалентностьвекторныхнорм

⇐ ПредыдущаяСтр 10 из 14Следующая ⇒

Теорема (об эквивалентности векторных норм).

Пусть ||•||α и||•||β–две произвольные векторные нормы в конечномерном вещ. Или комплексном пространствеV. Тогда они эквивалентны.

Доказательство. Рассмотрим соотношение  на евклидовой единичной сфере

Сфера явл. компактным мно-вом в . Так как  то по св-ву 1а) векторгой нормы , и, хначит, Таким образом, значенатель не образается в нуль и отношение непрерывно на S. По теореме Вейерштрасса у непрерывной ф-цииh на компактноммн-веS сущ. максимальное значение cM и положительное (т.к. h>0) минимальное значение cm:

cm≤ h≤ cM cm ≤ ≤ cM,

откуда следует, что соотношение теоремы верно ∀x∈S.

Рассмотрим теперь произвольный вектор x∈V . Случай x = 0 тривиален, поэтому считаем, что x ≠ 0. Очевидно, что y= ∈S. Тогда по вышеуказанномуcm||y||α≤||y||β≤ cM||y||α,

откуда получаем ,

откуда в силу св-ва 2) векторных норм следует справедливость теоремы для ∀x∈

 

Матричные нормы

Опр. Ф-ция ||•||: , наз. матричной нормой, если для любой A ∈  выполняются следующие условия:

1)||A||≥0(неотрицательность);

1а) A||=0 A=0 (невырожденность);

2)||αA||=|α

A|| (абсолютная однородность); 3)||A+B||≤||A||+||B|| (неравенство треугольника); 4)||AB||≤||A

B||  (кольцевое свойство) Примеры матричных нормна 1*.||A||1 ≡ Столбцовая норма (1-норма), 2*.||A||∞ ≡ Строчная норма (∞-норма), 3*.||A||E ≡ Евклидова норма 4*.||A||E ≡ Спектральная норма  5*.||A||M ≡ М-норма 6*. ≡ l1-норма    

Согласованные и подчиненные векторные и матричные нормы.

Определение. Матричная норма ||•||M называется согласованнойс векторной нормой ||•||V , если

||A||V≤ ||A||M ||x||V (1) для любой матрицы A и всех векторов x.

Определение. Пусть задана векторная норма ||•||V. Тогда числовая функция

(2)

называется нормой матрицы, подчиненной (индуцированной) векторной норме ||•||V.

Теорема(Подчиненная векторная норма). Функция (2) определена и является согласованной нормой в  для любых норм в Cm и Cn.

Теорема.Для подчиненной матричной нормы справедливо

||Ax||≤||A

X||,  ||E||=1

Доказательство

Следствие. Матричная норма||•||M, подчиненная векторной норме||•||V, согласована с этой нормой.

Матричная норма, подчиненная векторной норме||•||∞

Получим оценку сверху для величины ||Ax||∞

||Ax||∞ .

Покажем, что эта оценка достигается.

Пусть максимум по i имеет место при i=l. Возьмем x=(sign(al1),…,sing(aln)).

Имеем  и точные равенства во всей цепочке выше.

Таким образом, подчиненная векторной норме||•||∞


 


Число обусловленности.

Определение. Величина

      (1)

называется числом обусловленности матрицы A по отношению к матричной норме ||•||.

Свойства числа обусловленности

10. Для любой матричной нормы cond(A)≥1.

20. Для любой матрицы A и любого числа α выполняется равенство cond(A) =cond(αA).

30. Для спектральной и евклидовой норм число обусловленности не меняется при умножении матрицы слева и справа на любую унитарную матрицу.

40. Для 1-, 2-, ∞-норм и евклидовой нормы число обусловленности не меняется при перестановке строк и столбцов.

50. Для спектральной нормы число обусловленности любой матрицы равно отношению максимального сингулярного числа к минимальному.


 


 



Сходимость матриц

Определение. Матрица А называется сходящейся, если

Лемма. ||•||: ||A||<1 .

Доказательство. 

||Ak||≤||A||k→k→0 0 Ak→||•||0 Ak→||•||∞0

Теорема.Матрица является сходящейся тогда и только тогда, когда .

Доказательство .Пусть Ak→0.Рассмотрим собственный вектор x≠0: Ax=λx. Тогда A2x=A(Ax)=A(λx)=λ(Ax)=λ2x…Akx=λkx→0 .

Обратно  || ||:||A||<1 Ak→k→∞0

Следствие.


 


 



Теорема Гершгорина

Теорема Гершгорина и ее следствия. Для произвольной матрицы AЄ обозначим - строчная почти-нормы, а также

 - столбцовые почти – нормы матр. А.

Наиболее полезная и легко применяемая теорема, дающая оценка для собственных значений – теоремы Гершгорина.

Теорема Гершгорина (строчная).Все собственные значения матрицы A заключены в объединении n кругов

Кроме того, если объединение k из этих кругов есть связная область, не пересекающаяся с остальными n−k кругами, то в ней находится ровно k собственных значений матрицы A.

Теорема (Гершгорина (столбцовая)). Все собственные значения матрицы AЄ принадлежат объединению nкругов (столбцовой области Гершгорина)

Кроме того, если k из этих кругов образуют область, изолированную от остальных n-k кругов, то в ней находится ровно kсобственных значений матрицы А.


 


 




⇐ Предыдущая567891011121314Следующая ⇒






Последнее изменение этой страницы: 2018-04-12; просмотров: 477.

stydopedya.ru не претендует на авторское право материалов, которые вылажены, но предоставляет бесплатный доступ к ним. В случае нарушения авторского права или персональных данных напишите сюда...