Критерии унитарности матрицы

Матрица U ∈ C^{n × n} называется унитарной, если U*U = E. Если к тому же U ∈ R^{n × n} , то U называется ортогональной.

Теорема (о критериях унитарности). Следующие предложения эквивал. для матрицы U ∈ C^{n × n} :

a) U унитарная;

b) U невырожденная и U*=U^-1;

c) UU* = E_n ;

d) U* унитарная;

e) столбцы в U образуют ортонормированную систему;

f) строки в U образуют ортонормированную систему;

g) для любого вектора x Є Cⁿ справедливо x*x = (Ux)*(Ux)

(т.е. унитарные матрицы - изометричные).

 Доказательство. а) влечет b), т.к. матрица U^-1 (если она существует) - это единственная матрица, при умножении на которую слева получается E. Из определения унитарности следует, что U* именно такая матрица: UU* = UU^-1 = E. Значит, из b) следует c).

    Так как c) - это определение унитарности для U*, то из c) следует d).

Обращение импликаций проводится аналогично. Таким образом a), b), c) и d) эквивалентны.

Обозначим u_i - i-й столбец матрицы U. Из правил матричного умножения следует, что если   U*U = E, то u_i*u_j = δ_ij, где δ_ij = - символ Кронекера. Последнее равносильно тому, что u_i,u_j ортонормированные. Следовательно, a) равносильно e). Аналогично доказывается равносильность d) и f).

 Докажем, что из a) следует g). Возьмем y = Ux. Тогда

y*y = x*U*Ux = x*x.

 Докажем, что из g) следует a). Рассмотрим сначала случай n = 2. Рассмотрим произвольную матрицу U, для которой выполняется g) для ∀x ∈ Cn. Возьмем

Имеем:       1 = x*x = y*y = x*U*Ux

 - это элемент матрицы U*U в позиции [1,1]. Аналогично полагая получим U*U₍₂₂₎ = 1. Т.е. U*U имеет вид , где a - скалярное произведение 1-го и 2-го столбца,  - 2-го и 1-го столбца. Положим

Тогда из g) следует

 2 = x*x = y*y = x*U*Ux =

Рассматривая , будем иметь

2 = x*x = y*y = x*U*Ux = 2 + i(a −  ) ⇒ a −  = 2i Im a = 0.

    Таким образом  + a = 2 Re a = 0, a −  = 2i Im a = 0 ⇒ a = 0. Следовательно, при n = 2 в случае выполнения g) имеем UU* = E, т.е. верно а).

    Рассмотрим теперь случай n > 2. Пусть U ∈ C^{n × n}  матрица, для которой выполняется g). Положим A = U*U. Возьмем x ∈ Cⁿ, в котором все компоненты нулевые, кроме i-й и j-й (i ≤ j). Тогда

 где A_{j,j} главная подматрица матрицы A в строках i,j и столбцах i,j. Из доказанного выше при n = 2 следует, что A_{j,j} = E₂ ∈ C^{n × n}. Так как i,j - произвольные, то в A любая главная подматрица порядка 2 совпадает с E². Единственная матрица, обладающая таким свойством - это матрица E_n.

Случай n = 1 очевиден.

Унитарное подобие.

Так как для унитарной матрицы U*=U^-1 , то преобразование А → U*AU, определенное на С^n×n , явл. подобием которое называется унитарным подобием.

Опр. Матрица B Є С^{n × n} называется унитарно подобной матрице А Є С^{n × n} , если найдется унитарная матрица U Є С^{n × n} , такая, что B = U*AU. Если Г можно выбрать вещественной (а значит, ортогональной), то В называется ортогонально подобной матрице А.

Рассмотрим два специальных типа унитарных матриц, которые осуществляют преобразования унитарного подобия, весьма важные для вычисления собственных значений.

Пример 1. (Плоские вращения). Матрица U(θ;i,j) осуществляет вращение (на угол θ) в плоскости координат i,j. Заметим, что если матрица умножается слева на U(θ; i, j), то в ней изменяются только i-я и j-я строки, а если она умножается справа, то изменяются только i-й и j-й столбцы. Таким образом, при переходе к унитарно подобной матрице, осуществляемом с помощью U(θ;i,j), происходит изменение только строк и столбцов с номерами i и j. Унитарное подобие, существляемое посредством плоских вращений, используется при вычислении собственных значений.

Пример2. (Преобразования Хаусхолдера). Возьмем произвольный ненулевой вектор w ∈ Cⁿ и образуем матрицу

U_w = E – tww^* (U_w ∈ C^{n × n}) ,

где t = 2(w^*w)^-1. Заметим, что w^*w - это положительный скаляр, ww^* ∈ C^{n × n} матрица. Если вектор w был нормирован (w^*w = 1), то t должно быть равно 2, а матрица U_w должна иметь вид U_w = E − 2ww^*. Часто образуют матрицу U_w, выбирая заранее именно нормированный вектор w.

Любая матрица U_w называется преобразованием Хаусхолдера.

Теорема. Дляунитарно подобных матриц A и B из С^n×n имеет место равенство

Доказательство:

 18. Теорема Шура об унитарной триангуляризации матриц

Теорема. (Шура об унитарной триангуляризации). Пусть задана матрица A ∈ С^{n × n}   и зафиксирован какой-то порядок ее собственных значений λ₁,... ,λ_n. Тогда существует унитарная матрица U ∈ С^{n × n} , такая, что

U* AU = T = [tij] −

верхняя треугольная матрица с диагональными элементами t_ii = λ_i, i = 1,n. Кроме того, если        A ∈ R^{n × n} и все ее собственные значения вещественны, то U можно выбрать ортогональной.

Другими словами, любая комплексная матрица унитарно подобна треугольной матрице.

Доказательство:

Пусть x⁽¹⁾ - нормированный собственный вектор, отвечающий     :

Дополним x⁽¹⁾ до базиса: x⁽¹⁾, y⁽²⁾ ,  , y⁽ⁿ⁾ (*)

Ортонормируем систему(*): x⁽¹⁾ , z⁽²⁾ ,…, z^{(n) (}**)

Составим из (**) матрицу U₁: унитарная

U₁ =[ x⁽¹⁾ , z⁽²⁾ , . . . , z⁽ⁿ⁾]

Рассмотрим матрицу:  A[ ]= [

Аналогично строится унитарная матрица

Сформируем матрицу

Продолжая аналогично, построим унитарная      

Замечание1. В формулировке теоремы Шура можно говорить не о верхних треугольных, а о нижних треугольных матрицах. При этом унитарная эквивалентность будет осуществляться другой матрицей U.

 Замечание2. В теореме Шура неоднозначно определяются и U, и T. Это связано с выбором векторов z⁽ⁱ⁾, w⁽ⁱ⁾ и т.п., порядком расстановки собственных чисел. Кроме того, то, что находится выше главной диагонали для унитарно подобных верхних треугольных матриц может сильно различаться. Применение теоремы Шура позволяет установить «почти диагонализуемость» произвольной матрицы.