Примитивные и импримитивные матрицы.

Определение. Пусть неразложимая квадратная матрица A ≥ 0 имеет k собственных значений, равных по модулю ρ(A). Тогда если k = 1, то матрица A называется примитивной. В противном случае A называется импримитивной с индексом импримитивности k.

Теорема . Если A ∈Rn×n неотрицательна и примитивна, то

 , гдеL = xy^T, Ax=  , A^Ty=  , x>0 , y>0 , x^Ty=1.

Теорема. Пустьp_A(λ) = λⁿ+ a₁λⁿ¹ + . . . + a_tλ^nt — характеристический полином матрицы A, причемa₁, a₂, . . . , a_t ненулевые и n>n₁> . . . >n_t ≥ 0. Вычисляем разности n − n₁, n₁ − n₂, . . . , n_t−1 − n_t.

Тогда индекс импримитивности k матрицы A равен наибольшему общему делителю разностей n − n_j , (j = ⌐1, t)

Теорема. Матрица A ≥ 0 примитивна в том и только в том случае, когда A^m> 0 для некоторогоm ≥ 1.

Доказательство. Предположим, что A^m> 0, и, следовательно, A^mнеразложима. Далее, из разложимости A следовала бы разложимость A^m, а следовательно, A^m> 0 означает, что A неразложима.

Если бы A имела индекс импримитивности k> 1, то так как собственные значения для A^m являются m-ми степенями собственных значений для A, A^m также имела бы индекс импримитивности k> 1. Но это противоречило бы теореме Перрона, примененной к положительной матрице A^m. Следовательно, k = 1 и A примитивна.

Обратно, если Aпримитивна, то

,согласно теореме 9.12, и так как ρ(A) > 0, то для какого-то m ≥ 1 верно A^m> 0.

Определение. Для любой заданной примитивной матрицы A наименьшее число k такое, что A^k> 0, называется ее индексом примитивности.

Теорема (Графовый критерий примитивности).

Неразложимая матрица A ≥ 0 примитивна тогда и только тогда, когда g_i = 1, (∀i = 1, n).

Теорема. Если матрица A∈R^n×nнеотрицательна, то A примитивна тогда и только тогда, когда A^{n^2−2n+2} > 0.

Свойства примитивных матриц

1⁰. Если A ≥ 0 — примитивная матрица, то A^mявляется неотрицательной, неразложимой и примитивной для всехm = 1, 2,..

2⁰ . Если A ≥ 0 — неразложимая матрица с индексом импримитивности k, то существует матрица перестановок P , такая, что PA^kP^T=  ,где A_i — примитивные матрицы с одним и тем же максимальным собственным значением.

3⁰. Если A> 0, то она примитивна.

4⁰. Если A ≥ 0 неразложима и хотя бы один ее диагональный

элемент положителен, то A примитивна.

5⁰. Если A — произвольная неразложимая матрица, B — любая неотрицательная матрица с положительным следом, то их сумма

A + B является примитивной матрицей.

6⁰. Если A∈R^n×nнеотрицательна и неразложима и имеет d положительных элементов на главной диагонали, где 1 ≤ d ≤ n, то индекс примитивности k ≤ 2n − d − 1.

7⁰.Примитивная матрица всегда устойчива.

Стохастические матрицы.

Определение.Неотрицательная матрица A ∈R^n×n, для которой все строчные суммы равны +1, называется (строчной) стохастической матрицей.

Столбцовая стохастическаяматрица — это матрица, транспонированная к строчной стохастической матрице.

Стохастическая матрица A ∈R^n×n, для которой A^T также является стохастической, называется двоякостохастической.

Теорема. Неотрицательная матрица A является стохастической тогда и только тогда, когда она имеет собственное значение 1 с правым собственным вектором e =  .

Кроме того, спектральный радиус стохастической матрицы равен 1.

Теорема. Пусть A — неотрицательная матрица с максимальным собственным значением λ. Пусть существует положительный правый собственный вектор x, соответствующий λ. Положим X = diag {x₁, . . . , x_n}. Тогда

 A = λXP X⁻¹, где P — стохастическая матрица.

Доказательство. Пусть P = λ⁻¹X⁻¹AX. Покажем, что P —стохастическая. Так как по определению собственного вектора и собственного значения Ax = λx, то , (i = ⌐1, n).По определению p_ij = λ⁻¹ a_ijx_i, и, следовательно , а значит, P — стохастическая.

Теорема (Биркгофа).Матрица A∈R^n×nявляется двоякостохастической в том и только том случае, когда для некоторого N< ∞ существуют матрицы перестановокP₁, . . . , P_N∈R^n×nи положительные числа α₁, . . . , α_N∈R, такие, что α₁ + . . . + α_N= 1 и A = α₁P₁ + . . . + α_N P_N .

Теорема. Если A ∈R^n×n— неразложимая стохастическая матрица, то матрица A^∞ = существует тогда и только тогда, когда A примитивна.

1. Функции от матриц.

2. Интерполяционный полином Лагранжа-Сильвестра

3. Скелетное разложение матрицы: лемма о ранге, лемма о существовании и неединственности скелетного разложения

4. Свойства компонент скелетного разложения A=BC: лемма о невырожденности В*В, СС*

5. Теорема о существовании псевдообратной матрицы Мура-Пенроуза.

6. Теорема о единственности псевдообратной матрицы Мура-Пенроуза

7. Свойства псевдообратной матрицы Мура-Пенроуза

8. Решение однородных систем линейных алгебраических уравнений с использованием  псевдообратной матрицы Мура-Пенроуза

9. Нормальное псевдорешение системы линейных алгебраических уравнений.

10. Матричные уравнения AX = XB 

11. Матричные уравнения AX = XA

12. Сопряженное пространство и его базис

13. Ортогональное дополнение сопряженного пространства

14. Сопряжённое отображение

15. Унитарные и ортогональные матрицы. Их свойства

16. Критерии унитарности матрицы

17. Унитарное подобие

18. Теорема Шура об унитарной триангуляризации матриц

19. Спектральная теорема для нормальных матриц

20. Эрмитовы и косоэрмитовы матрицы. Их свойства. Эрмитово разложение