Неотрицательные и положительные матрицы, их свойства.

Определение. Матрица A = [a_ij] ∈ называется неотрицательной (положительной) и это обозначается как А≥0 (А>0), если а_ij≥0 (а_ij>0), i=1,n,j=1,m.

Аналогично определяются отношения ≤ и < понятия неположительной (отрицательной) матрицы.

Если A-B≥0 (A-B>0), то пишут А≥В (А>В).

По определению .

Свойства неотрицательных матриц.

Пусть А,В Є .

1⁰. |A| ≥0 ∀A; |A| =0⇔A=0.

2⁰.|Ax| ≤ |A| |x|.

3⁰.|Am| ≤ |A|^m, ∀m=1,2, . . .

4⁰.Если 0≤A≤B, то 0≤A^m≤B^m, ∀m=1,2, . . ..

5⁰.Если A>0, x≥0 и x ≠0, то Ax>0.

6⁰.Если |A| ≤ |B|, то ||A||_E ≤||B||_E.

7⁰.||A||_E =

A

E. Теорема. Пусть A,B∈ . Если |A| ≤B, тоρ(A)≤ρ(|A|)≤ρ(B). Следствие. ПустьA, В∈ . Если 0 ≤ A ≤ B, то ρ(A)≤ρ(B). Лемма. Пусть A∈ иA≥0. Если строчные суммы для А постоянны, то ρ(A)=||A||∞. Если для A постоянны. столбцовые суммы, то ρ(A)=||A||1. Теорема. Пусть A∈  и A≥0. Тогда Следствие. Пусть A∈ , А≥0 и . Тогда . В частности,  если А>0 или если А неразложима и неотрицательна. Теорема. Пусть A∈  и предположим, чтоА≥0. Тогда для любого положительного вектораxЄCnсправедливы неравенства: Следствие. Пусть A∈ , x ∈Rn, и предположим, что A≥0 и x>0. Если числа α,β≥0 таковы, чтоαx≤Ax≤βx, то α≤ρ(A)≤β. Если αx<Ax, то α<ρ(A); если Ax<βx, то ρ(A) <β. Следствие 9.4. Пусть A∈ и A≥0. ЕслиA имеет положительный собственный вектор, то отвечающее ему собственное значение есть ρ(A). Другими словами, если Ax=λx, x>0 и A≥0, то λ=ρ(A)  

Сравнение спектральных радиусов неотрицательных матриц

Теорема Пусть A,B ∈ . Если |A| ≤ B, то ρ(A) ≤ ρ (|A|) ≤ ρ(B).

Доказательство. Во-первых, из свойств неотрицательных матриц следует справедливость следующей цепочки неравенств для ∀ m = 1, 2,... :

|  |≤ ≤ .

Далее из этих неравенств имеем для ∀ m = 1, 2,... :

Переходя в последних равенствах к пределу при m → ∞

согласно равенству ρ(A) =  получаем соотношения теоремы.

Следствие Пусть A,B ∈ . Если 0 ≤ A ≤ B, то ρ(A) ≤ ρ(B).

Теорема Перрона (с доказательством)

Теорема (Перрона). Если A ∈  и A > 0, то

а) ρ(A) > 0;

b) ρ(A) есть собственное значение матрицы A

(ρ (A) =  ∈ σ (A));

с) для некоторого  ∈  имеем  > 0 и A  = ρ(A) ;

d) ρ(A) есть алгебраически (а значит, и геометрически) простое собственное значение для A;

е) |λ| < ρ(A) для всякого собственного значения λ  ρ(A);

другими словами, только одно собственное значение , равное именно ρ(A), имеет максимальный модуль;

f )  где

L ≡ x  , Ax = ρ(A)x,  y = ρ(A)y, x > 0, y > 0, y = 1.

Доказательство:

a)- b) Рассмотрим собственное значение λ, такое, что |λ| = ρ(A) > 0, и отвечающий ему собственный вектор

x 0. По лемме(пусть еще Ax = λx, x 0 и |λ| = ρ(A). Тогда A|x| = ρ(A) |x| и |x| > 0.) искомым вектором будет |x|.

e) По определению |λ| ≤ ρ(A) для всех λ ∈ σ(A). Пусть |λ| = ρ(A) и Ax = λx, x  0.

Согласно лемме( для некоторого θ ∈ R имеем x = |x| > 0), Aw = λw, где w = x > 0 для какого-то θ ∈ R. Отсюда, опираясь на следствие(Если A имеет положительный собственный вектор, то отвечающее ему собственное значение есть ρ(A).др.словами λ = ρ(A)), получаем λ = ρ(A).

d) ρ(A) есть собственное значение алгебраической кратности 1; другими словами, ρ(A)—это простой корень характеристического уравнения (t) = 0, где (t) —характеристический полином матрицы A.

Теорема Перрона-Фробениуса

Теорема (Перрона— Фробениуса).

Пусть A ∈ неразложима и A ≥ 0. Тогда

а) ρ(A) > 0;

b) ρ(A) есть собственное значение матрицы A:

                         ρ(A) = ∈ σ(A);

с) для некоторого ∈  имеем > 0 и A = ρ(A)  ;

d) ρ(A) есть алгебраически (а значит, и геометрически) простое собственное значение для A.

Теорема Фань-Цзы.

Теорема (Фань Цзы). Пусть A∈C^n×nи B∈R^n×n, B ≥ 0 и B ≥ |A|. Тогда любое собственное значение матрицыA принадлежит области

 .

Доказательство. Будем считать, что B> 0. Если это не так, то можно рассматривать матрицу B_ε ≡ [b_ij + ε], где ε> 0. ПриэтомB_ε> |A| и ρ(B_ε) − (b_ii + ε) ρ(B) − b_ii.

По теореме Перрона длякакого-то положительного векто-раx имеем Bx = ρ(B)x. Рассматривая это равенство покомпонентно для ∀i = ⌐i, n, имеем

ρ(B)x_i =  +  + ⇒ ρ(B) - , (i = ⌐ 1,n)

Положив в (8.4 )p_i = x_i, убеждаемся в (9.1).