Спектральная теорема для нормальных матриц

Для матрицы A = [ ] ∈  с собственными значениями λ1,... ,λn следующие утверждения равносильны:

а) A нормальна;

b) A унитарно диагонализуема;

с)  =

d) для А существует ортонормированная система из собственных векторов

Доказательство. a) ⇒ b) : по теореме Шура существует унитарная матрица V ∈  и треугольная матрица T ∈  такие, что A = .

Умножим это равенство на сопряженное. С учетом а) имеем

 =  =  =  =  = , откуда следует

 =  , т.е. T – треугольная нормальная матрица и по свойству  нормальных матриц (блочно-треугольная нормальная матрица T является блочно-диагональной.) T – диагональная.

b) ⇒ a) : по определению унитарно диагонализуемой матрицы для матрицы A существуют унитарная матрица U ∈ и диагональная матрица Λ ∈ , такие что A = .

Следовательно, с учетом свойства  нормальных матриц (диагональная матрица является нормальной) =  =  =  = A, т.е. А – нормальная.

b) ⇒ c) следует из применения теоремы 5.4 (Для унитарно подобных матриц A и B из

имеет место равенство  = ) к унитарно подобным матрицам A и Λ.

c)⇒ b). По теореме Шура A = , где  =  (A). Далее, применяя теорему 5.4 к унитарно подобным матрицам A и T, имеем:

 =  ₊ , откуда с учетом с) следует

 = 0, откуда ∀ i < j.

а) ⇒ d) Обозначим , i = 1,…, n – столбцы матрицы U в разложении A = :

U = [ , . . . , ] .

Из разложения A = в силу  = для унитарной матрицы U имеем AU = UΛ, что с учетом того, что матрица Λ – диагональная, равносильно A  = , i = 1,…, n. Из послед-

них равенств и определения собственных векторов вытекает, что , i = 1,…, n, являются собственными векторами матрицы A. В силу утверждения е) теоремы 5.2 (о критериях унитарности) векторы  образуют ортонормированную систему, что и завершает доказательство.

d) ⇒ a) Пусть , i = 1,…, n –система ортонормированных собственных векторов матрицы:

A  = , i = 1,…, n. (5.9)

Составим из этих векторов матрицу U = [ ,…, ] . Тогда (5.9) можно записать в матричном виде

AU = ΛU = UΛ, откуда следует AU = Λ, т.е. A – унитарно подобна диагональной, а значит, согласно b), A – нормальна.