Унитарные и ортогональные матрицы. Их свойства

Система векторов  называется ортогональной, если  Если к тому же сами векторы нормированы, т.е. , i=1,k , то акая система называется ортонормированной.

Теорема. Любая ортонормированная система ЛНЗ.

Докво. Рассмотрим для ортонормированной системы векторов { } равенство и покажем, что оно возможно лишь при . Умножая равенство справа на сопряженное  получим , что возможно только при  откуда и вытекает ЛНЗ системы { }.

Опр. Матрица  называется унитарной, если  Если к тому же , то U называется ортогональной.

Теорема. (о QR-разложении). Если , n>= m, то существуют матрица  c ортонормированными столбцами и верхняя треугольная матрица , такие, что A=QR. Если m=n, то Q унитарна.

Свойства унитарных матриц:

1. Для любых унитарных (ортогональных) матриц U, V  произведение UVявляется также унитарной(ортогональной) матрицей.

2. Все собственные значения унитарной матрицы по модулю равны 1.

3. Любая матрица перестановок – унитарная.

Опр. Матрицей перестановок называется квадратная матрица, у которой по каждой строке и каждом столбце только один элемент отличен от нуля и равен единице.

4. Определитель унитарной матрицы по модулю равен 1

5. Унитарные матрицы одного порядка образуют группу по умножению.