Студопедия КАТЕГОРИИ: АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция |
Эрмитовы и косоэрмитовы матрицы. Их свойства. Эрмитово разложение
Матрица A ∈ называется эрмитовой, если A = , и косоэрмитовой, если A = − . Свойства эрмитовых матриц: 1) Матрицы , , эрмитовы для любой матрицы A ∈ . 2) Если матрица A эрмитова, то ее степень эрмитова для всех k = 1,2,.... Если A также невырожденная, то A−1тоже эрмитова. 3) Если A и B - эрмитовы, то матрица αA+βB эрмитова для любых вещественных α, β. 4) Матрица A − косоэрмитова для любой матрицы A ∈ . 5) Если A и B–косоэрмитовы, то матрица αA + βB косоэрмитова для любых вещественных α,β. 6) Если A - эрмитова, то iA - косоэрмитова. 7) 7). Если A - косоэрмитова, то iA - эрмитова. 8) Любую матрицу A ∈ можно записать в виде: A = ( ) + ( ) ≡ H(A) + S(A), где H(A) = ( ) - эрмитова часть матрицы A, S(A) = ( ) – косоэрмитова часть матрицы A. 9) Если A − эрмитова, то все элементы на ее главной диагонали вещественны. Для того чтобы задать все элементов матрицы A, достаточно указать n вещественных чисел (диагональные элементы) и комплексных чисел (внедиагональные). Теорема (Об эрмитовом разложении). Любую матрицу A ∈ можно записать единственным образом в виде A = H + iT, где обе матрицы H и T эрмитовы. Имеется также единственное представление вида A = B + C, в котором матрица B - эрмитова, а матрица C - косоэрмитова. Доказательство. Существование представления следует из свойства 8), если положить B = H (A), C = S (A), свойства 6) и равенства C = −iiC (поскольку iC- эрмитова), а также свойства 7): H = H (A), T = −iC. Докажем единственность. Если A = K + iF - еще одно представление, где K и F - эрмитовы, то 2H = = (K + iF) + = K + iF + − = 2K, откуда следует, что H = S. Аналогично устанавливается равенство F = T и существование единственного представления A = B + C.
21. Критерии эрмитовости матрицы Матрица A ∈ эрмитова тогда и только тогда, когда выполнено хотя бы одно из следующих условий: а) функция Ax принимает вещественные значения для любого x ∈ ; b) матрица A нормальна и все ее собственные значения вещественны; с) матрица AS эрмитова для любой матрицы S ∈ . Доказательство. Необходимость. a) Рассмотрим число, комплексно-сопряженное к числу Ax: a) = = = Ax Таким образом, число x∗Ax совпадает с комплексно сопряженным числом и, следовательно, является вещественным. b) Пусть λ - собственное значение эрмитовой матрицы A, x -соответствующий ему нормированный собственный вектор: b)Ax = λx, x = 1. Умножим второе равенство на λ: λ = λ x = λx = Ax ∈ R (в силу доказанного утверждения a). Нормальность матрицы А вытекает из справедливости равенства: = (A = , = A) = . c) Для произвольной матрицы S ∈ справедливо: c) = S = , следовательно - эрмитова. Достаточность. Рассмотрим утверждение а) для вектора (x + y) ∈ : A(x + y) = ( Ax + Ay) + ( Ay + Ax) ∈ R ∀x,y ∈ . Поскольку Ax ∈ R, Ay ∈ R по предположению, то Ay + Ax ∈ R, ∀ x,y ∈ . (6.1) Возьмем в (6.1) x = , y = ( - k-й вектор естественного базиса .): A + A = + ∈ R ⇒ Im = −Im . (6.2) Возьмем x = i , y = : − i A + i A = −i + i ∈ R ⇒ Re = Re . (6.3) Из (6.2) и (6.3) следует, что = , ∀j, k = 1,…, n, а, следовательно, A = . b) По спектральной теореме для нормальных матриц нормальная матрица унитарно диагонализуема, т.е. A = , где U ∈ - унитарная матрица, Λ = diag{ , .., }∈ , ∈ σ (A) . Рассмотрим = ( ) = = = A, следовательно А - эрмитова. c) Положим S = : = ( ) ⇒ A = A .
Теорема Рэлея-Ритца Теорема Рэлея-Ритца. Пусть A-эрмитова и ее собственные значения упорядочены (Пусть A – эрмитова, ). Тогда
Доказательство. Поскольку матр. А – эрмитова, то по спектральной теореме для эрмитовых матриц сущ. такие унитарные март. и диагональная матрица , что . При любом векторе верны равенства Каждый сомножитель неотрицателен, поэтому Поскольку март. U унитарна, а унитарные матр.изометричны, то имеют место равенства Таким образом, справедливы соотношения: что и доказывает (2). Покажем, что оценки в соотношении (2) точны. Действительно, если x – собст.векторматр. A, соответствующий собственному значению λ1, то Точность оценки сверху устанавливается аналогично. Остальные утверждения является простыми следствиями соотношений(2). Покажем, например, справедливость (3). При из правой части соотношения (2) имеем: Это неравенство обращается в равенство, когда x- собственный вектор матрицы A, соответствующий собственному значению . Следовательно, .(5) Наконец, при можно перейти к нормированному вектору: Таким образом, равенство (5) эквивалентно следующему Рассуждения для минимального собственного значения аналогичны.
|
||
Последнее изменение этой страницы: 2018-04-12; просмотров: 543. stydopedya.ru не претендует на авторское право материалов, которые вылажены, но предоставляет бесплатный доступ к ним. В случае нарушения авторского права или персональных данных напишите сюда... |