Эрмитовы и косоэрмитовы матрицы. Их свойства. Эрмитово разложение

Матрица A ∈  называется эрмитовой, если A = , и косоэрмитовой, если A = − .

Свойства эрмитовых матриц:

1) Матрицы , , эрмитовы для любой матрицы A ∈ .

2) Если матрица A эрмитова, то ее степень  эрмитова для всех k = 1,2,.... Если A также невырожденная, то A−1тоже эрмитова.

3) Если A и B - эрмитовы, то матрица αA+βB эрмитова для любых вещественных α, β.

4) Матрица A −  косоэрмитова для любой матрицы A ∈ .

5) Если A и B–косоэрмитовы, то матрица αA + βB косоэрмитова для любых вещественных α,β.

6) Если A - эрмитова, то iA - косоэрмитова.

7) 7). Если A - косоэрмитова, то iA - эрмитова.

8) Любую матрицу A ∈ можно записать в виде:

A = ( ) + ( ) ≡ H(A) + S(A), где H(A) =  ( ) - эрмитова часть матрицы A, S(A) =  ( ) – косоэрмитова часть матрицы A.

9) Если A − эрмитова, то все элементы на ее главной диагонали вещественны. Для того чтобы задать все  элементов матрицы A, достаточно указать n вещественных чисел (диагональные элементы) и  комплексных чисел (внедиагональные).

Теорема (Об эрмитовом разложении). Любую матрицу A ∈  можно записать единственным образом в виде A = H + iT, где обе матрицы H и T эрмитовы. Имеется также единственное представление вида A = B + C, в котором матрица B - эрмитова, а матрица C - косоэрмитова.

Доказательство. Существование представления следует из свойства 8), если положить B = H (A), C = S (A), свойства 6) и равенства C = −iiC (поскольку iC- эрмитова), а также свойства 7): H = H (A), T = −iC.

Докажем единственность. Если A = K + iF - еще одно представление, где K и F - эрмитовы, то

2H =  = (K + iF) +  = K + iF +  −  = 2K, откуда следует, что H = S. Аналогично устанавливается равенство F = T и существование единственного представления A = B + C.

21. Критерии эрмитовости матрицы

 Матрица A ∈ эрмитова тогда и только тогда, когда выполнено хотя бы одно из следующих условий:

а) функция Ax принимает вещественные значения для любого x ∈ ;

b) матрица A нормальна и все ее собственные значения вещественны;

с) матрица AS эрмитова для любой матрицы S ∈ .

Доказательство. Необходимость.

a) Рассмотрим число, комплексно-сопряженное к числу Ax:

a)  =  =  = Ax

Таким образом, число x∗Ax совпадает с комплексно сопряженным числом   и, следовательно, является вещественным.

b) Пусть λ - собственное значение эрмитовой матрицы A, x -соответствующий ему нормированный собственный вектор:

b)Ax = λx, x = 1.

Умножим второе равенство на λ:

λ = λ x = λx = Ax ∈ R (в силу доказанного утверждения a). Нормальность матрицы А вытекает из справедливости равенства:  = (A = ,  = A) = .

c)  Для произвольной матрицы S ∈  справедливо:

c)  =  S = , следовательно  - эрмитова.

Достаточность.

Рассмотрим утверждение а) для вектора (x + y) ∈  :

 A(x + y) = ( Ax + Ay) + ( Ay + Ax) ∈ R ∀x,y ∈ .

Поскольку Ax ∈ R, Ay ∈ R по предположению, то Ay + Ax ∈ R, ∀ x,y ∈ . (6.1)

Возьмем в (6.1) x = , y =  (  - k-й вектор естественного базиса .):

A  + A  =  +  ∈ R ⇒ Im  = −Im . (6.2)

Возьмем x = i , y = :

− i A  + i A  = −i  + i  ∈ R ⇒ Re  = Re . (6.3)

Из (6.2) и (6.3) следует, что  = , ∀j, k = 1,…, n, а, следовательно, A = .

b) По спектральной теореме для нормальных матриц нормальная матрица унитарно диагонализуема, т.е. A = , где U ∈ - унитарная матрица, Λ = diag{ , .., }∈ ,  ∈ σ (A) .

Рассмотрим  = ( ) =  =  = A,

следовательно А - эрмитова.

c) Положим S = :  = ( )  ⇒ A = A .

Теорема Рэлея-Ритца

Теорема Рэлея-Ритца. Пусть A-эрмитова и ее собственные значения упорядочены (Пусть A – эрмитова, ). Тогда

Доказательство. Поскольку матр. А – эрмитова, то по спектральной теореме для эрмитовых матриц сущ. такие унитарные март. и диагональная матрица , что . При любом векторе  верны равенства

Каждый сомножитель  неотрицателен, поэтому

Поскольку март. U унитарна, а унитарные матр.изометричны, то имеют место равенства

Таким образом, справедливы соотношения:

что и доказывает (2).

Покажем, что оценки в соотношении (2) точны.

Действительно, если x – собст.векторматр. A, соответствующий собственному значению λ1, то

Точность оценки сверху устанавливается аналогично.

Остальные утверждения является простыми следствиями соотношений(2).

Покажем, например, справедливость (3). При из правой части соотношения (2) имеем:

Это неравенство обращается в равенство, когда x- собственный вектор матрицы A, соответствующий собственному значению . Следовательно, .(5)

Наконец, при  можно перейти к нормированному вектору:

Таким образом, равенство (5) эквивалентно следующему

Рассуждения для минимального собственного значения  аналогичны.