Уточнение оценок собственных значений с помощью преобразования подобия.

Если относительно матрицы имеется некоторая дополнительная информация, в силу которой собственные значения принадлежат (или не принадлежат) конкретным множествам, то в сочетании с теоремой Гершгорина эта информация может привести к более точной локализации собственных значений.

Определяющие свойства некоторых типов матриц и свойства их собственных значений приведены в таблице

матрица	определение	Собственныезначения
эрмитова	A=A*	вещественные
косоэрмитова	A=-A*	чистомнимые
унитарная	AA*=A*A=En	по модулю равны 1
ортогональная	AЄ AAT=ATA=En	равны .

Следствие. Пусть  и пусть p₁,p₂,…,p_n- произвольные положительные числа. Все собственные значения матрицы A принадлежат каждой из двух областей

Пусть

33. Локализация собственных значений Неравенство Шура. Теорема Бендиксона.

Теорема (Неравенство Шура). Если A = (a_ij) ∈ имеет собственные значения λ₁,…,λ_n, то

причем равенство имеет место тогда и только тогда, когда матрица А нормальная.

Доказательство. Согласно теореме Шура сущ. унитарная матрица , такая, что U*AU =T, где T – верхняя треугольная матрица с диагональными элементами t_ii=λ_i, i=1,n. Тогда

,а значит

т.е. матрицыAA^∗и TT^∗подобны.

Поскольку след у подобных матриц равен, то

trAA^∗ =trTT^∗ (2)

Далее с учётом (2) справедливы соотношения

что и доказывает (1). Равенство возможно тогда и только тогда, когда , т.е. тогда итолько тогда, когдаматрицаA– нормальная.

Теорема (Бендиксона). Если ,то

Доказательство. Пусть x - нормированный собственный вектор матрицы A, соответствующий собственному значению λ_k :

Ax=λ_kx, x*x=1. (1).

Тогда (Ax)*x=x*A*x=(λ_kx)*x= x*x.(2).

Т. к. матр. Bэрмитова, то для нее справедлива теор Рэлея-Ритца:

Отсюда с учетом первого соотношения теоремы Рэлея-Ритца имеем

Аналогично, применяя теоремуРэлея-Ритца к эрмитовой матрице C, получим второе соотношение теоремы.

Локализация собственных значений Теорема Гирша. Теорема Брауна.

Теорема (Гирша). Если , то

Доказательство. Согласно теореме Шура сущ. м-цы U - унитарная, T - треугольная, такие, что

U*AU =T, t_ii=λi.

Тогда верно: U*A*U =T*,

Длядиагональныхэлементовматрицверно

Согласно (4) с учетом инвариантноcти следа относительно преобразования подобия имеем:

Тогда .

Аналогично доказывается (3).

Теорема(Брауна). Если имеет собственные значения λ₁,…λ_n, и сингулярные числа σ₁ ≥…≥σ_n, то σ_n≤|λ_i|≤σ₁  (1).

Доказательство. ПустьAx=λ_ix, x∈C, x*x=||x||₂²=1 (2)

Тогда ||Ax||₂² =||λ_ix||₂²= |λ_i|²||x||₂² =|λ_i|²

Получаем: |λ_i|²=||Ax||₂²=(Ax)*Ax=x*A*Ax.

По теореме Рэлея-Ритца для эрмитовой матрицы A*A верно:

λ_min(A*A)x*x≤x*(A*A)x≤λ_max(A*A),

откуда с учетом λ_min(A*A)=σ_n², λ_max(A*A)=σ₁²и (2) следует справедливость (1).

Невырожденность матриц.

Определение. Матрица ,называетсяматрицей с диагональным преобладанием, если выполнены нестрогие условия Адамара:

Теорема(Адамара).Если А – матрица со строгим диагональным преобладанием, то она обратима.

Теорема. Если у матрицы  все диагональные элементы ненулевые и она является матрицей с диагональным преобладанием, причем для всех, кроме одного, значений i=1,2,..,n это свойство выполняется в сильной форме, т.е. |a_ii|>R_i(A), то А обратима.

Определение. Матрица  наз. разложимой, если перестановкой строк вместе с одноименной перестановкой столбцов она может быть приведена к виду

где B и D - квадратныематрицы. В противномслучаематрица A называется неразложимой.

Определение. Матрица M(A) с элементами (8.25) называется индикаторной матрицей для A.

Теорема. Матрица тогда и только тогда неразложима, когда

Определение. Ориентированным путём в графе Г из вершины P_i1в вершину P_ik наз.последовательность дуг

Длина ориентированного пусть – это чисто луг в нём, если оно конечно.

ОпределениеОриентированный граф называется сильно связным, если в нем любые два узла P_i,P_j соединены ориентированным путем конечной длины, начинающимся в P_i изаканчивающимся в P_j.

Теорема .Матрица тогдаитолько тогда неразложима, когда ориентированный граф Г(A) сильносвязный.

Следствие Матрица, у которой все элементы ненулевые, неразложима.

Теорема Ольги Тауски. Если для неразложимой матрицы А выполняются ослабленные условия Адамара и по крайней мере в одном из этих условий имеет строгого неравенства(>), то матрица А – невырожденная.