Теорема о единственности псевдообратной матрицы Мура-Пенроуза

Опр. Матрица  называется псевдообратной матрицей Мура-Пенроуза для матрицы , если выполнимы следующие условия: , , где , - некоторые матрицы.

Теорема. Для любой матрицы А псевдообратная матрица Мура-Пенроуза существует, единственна и выражается по формуле , где В и С- компоненты скелетного разложения А=ВС матрицы А.

Док-во:

Докажем, что для данной матрицы А не существует двух различный псевдообратных матриц . Действительно: , откуда получаем

Введем обозначение

Тогда имеем АDA=0, D=U = . => (DA)*DA=A*D*DA=A*V*ADA=0., что равносильно .

Таким образом, единственность псевдообратной матрицы, а значит и теорема доказана.

Свойства псевдообратной матрицы Мура-Пенроуза

Свойства:

1.

2.

3. А -эрмитова

4. , т.е. матрица эрмитова

5.

6. Матрица А,  имеют один и тот же ранг.

7. , если А имеет полный ранг по строкам.

8. , если А имеет полный ранг по столбцам

9. .

Докво.:

Для док-ва 1 используем представление С учетом св-во операции * имеем:

Далее заметим, что для матрицы  представление  является скелетным разложением. Используя для  представление , получим

Получаем равенство этих формул.

Докажем 3 св-во  имеем:

.

Далее с учетом св-в операций * получим сравнивая результаты, убеждаемся в справедливости 3.

Аналогично доказывается 4. Свойство 5 доказывается непосредственно с применением

Докажем 6. Т.к. ранг произведение матриц не превосходит ранга любого из сомножителей, то из А А=А. и св-ва 5 имеем:

rk A=rk A ;  отсюда следует rk A=rk . Анологично док-ся равенство двух других рангов.

7 и 8 вытекают из

Решение однородных систем линейных алгебраических уравнений с использованием псевдообратной матрицы Мура-Пенроуза

Теорема. Общее решение однородной системы Ах=0 задается равенством , где q- произвольный вектор подходящего размера.

Докво: Во-первых, для любого вектора q справедливо  Это означает, что х-решение системы Ах=0. Во-вторых, для любого решения х системы Ах=0 найдется вектор q, при котором х имеет представление х= . Действительно, можно просто положить q=x, т.к. . Теорема доказана.

Следствие. Решение системы Ах=0 единственно тогда и тока когда матрица А имеет полный ранг по столбцам.

Док.  Действительно, в этом случае из 8 св-ва вытекает  и из х=  следует х=0.

Если решение не единственно, то существует бесконечно много решений, задаваемых формулой х=