Теорема о существовании псевдообратной матрицы Мура-Пенроуза.

Функции от матриц.

Простейшими функциями от матриц являются полиномы. Если задан числовой полином относительно , то f(A), A , находиться непосредственной подстановкой:

.

Рассмотрим теперь произвольную функцию  скалярного аргумента . Пусть

 (1)― минимальный полином матрицы А степени . Здесь  ― все различные собственные значения матрицы А: .

Опр. Если для функции  в точках  (k=1,s) из (1) определены производные  (2), то говорят, что функция  определена на спектре матрицы А, а систему чисел (2) называют системой значений функции матрицы А. Совокупность этих значений будем символически обозначать f[δ(A)].

Если функция f не определена на спектре матрицы А, то не определенно и f(A).

Лемма. Значения полиномов g(λ)  и h(λ) на матрице А совпадают тогда и только тогда, когда они имеют одинаковые значения на спектре матрицы А.

Опр. Пусть функция f определена на спектре матрицы А. Тогда f(A)=g(A), где  - любой полином, принимающий на спектре матрицы А те же значения, что и : f[δ(A)]=g[δ(A)].

Интерполяционный полином Лагранжа-Сильвестра

Опр. Полином r(λ) , определяемый интерполяционными условиями ,

Называется интерполяционным полиномом Лангранжа-Сильвестра функция  на спектре матрицы А.

Опр. Если функция f(λ) определена на спектре матрицы А, а r(λ) - соответствующий интерполяционный полином Лагранжа-Сильвестра, то f(А) = r(А).

Виды интерполяционный полином Лангранжа-Сильвестра:

1. где все собственные значения различны:

2. есть кратные собственные, но минимальный имеет простые корни:

3. минимальный имеет кратные корни:

, где   

Свойство функции матрицы:

1. Если - собственные значения матрицы n-го порядка А, то - полная система соб. Значений матрицы f(A).

2. Если две матрицы А и В подобны и матрица S преобразует А в В: то матрица f(A), f(B) подобны и та же матрица S преобразует f(A) в f(B): f(B)=S^-1 f(A)S.

3. Если А- блочно-диогональная матрица: A=diag{A₁,A₂,…,A_u}, то f(A)=diag{f(A₁₎,f(A₂₎,…,f(A_u)}.

Скелетное разложение матрицы: лемма о ранге, лемма о существовании и неединственности скелетного разложения

Опр. Пусть , rank A=r>0. Представление A=BC, где ,  называется скелетным разложением матрицы А.

Лемма. В скелетном разложение А=ВС rkB=rkC=rkA=r(1).

Докво. Ранг произведения двух матриц не превосходит рангов сомножителей. Поэтому, r=rk A=rk BC<=min{rk B, rk C} (2).

Но Rk B<=r, rk C<= r, поскольку r – один размеров матриц В и С. Отсюда и из (2), следует (1).

Лемма. Для любой матрицы  существуют скелетное разложние.

Замечание. Если матрица имеет полный ранг по столбцам rkA=n (или по строкам rkA=m), то в качестве матрицы В удобно взять саму матрицу А, а в качестве матрицы С-матрицу А.

Лемма. Скелетное разложение матрицы А неединственно.

Док-во. Если вместо матрицы В и С в А=ВС взять В₁=BS, С₁=S^-1C, где S- любая невырожденная r*r – матрицы, то А=B₁C₁ – представление того же вида А=ВС.

4. Свойства компонент скелетного разложения A=BC: лемма о невырожденности В*В, СС*

Лемма. Если В и С – компоненты скелетного разложения А=ВС, то матрицы В*В и СС* - невырожденные.

Докво. Пусть х-произвольное решение уравнения В*Вх=0. Покажем, что оно может быть только нулевым. Умножим уравнение В*Вх=0 слева на х*: х*В*Вх=(Вх)*Вх=0, что равносильно Вх=0.

Согласно лемме о ранге – это однородная система с матрицей полного ранга по столбцам, поэтому из Вх=0 следует х=0. Отсюда, вытекает что det B*B≠0. Невырожденность СС* доказывается аналогично.

Теорема о существовании псевдообратной матрицы Мура-Пенроуза.

Опр. Матрица  называется псевдообратной матрицей Мура-Пенроуза для матрицы , если выполнимы следующие условия: , , где , - некоторые матрицы.

Теорема. Для любой матрицы А псевдообратная матрица Мура-Пенроуза существует, единственна и выражается по формуле , где В и С- компоненты скелетного разложения А=ВС матрицы А.

Док-во:

Докажем существование матрицы Если А=0, положим . Пусть А≠0. Рассмотрим разложение А=ВС и будем искать сначала Из определения псевдообратной мтарицы имеем:

.

Умножим последнее равенство слева на В*:

Теперь умножая последнее равенство справа на В*, получим , аналогично получаем .

Рассмотрим матрицу  и покажем, что она удовлетворяет условиям , , т.е. является псевдообратной. Обозначим К= .

Тогда используя А=ВС и  получим:

,

, где .