Упрощение общего уравнения линий второго порядка

A₁₁x²+2a₁₂ xy+a₂₂ y² +2a₂ y+2a₁ x+a₀ =0 R {o,i,j} (1)

Рассмотрим поворот относительно т.О

Y=x^\sinφ+ y^\cosφ

A₁₁ (x^\ cosφ – y^\ sinφ)²+ 2a₁₂( x^\ cos φ– y^\ sinφ)(x’sinφ+y’cosφ)+a₂₂(x’sinφ+y’cosφ)+2a₁(x’cosφ-y’sinφ)+2a₂(x’sinφ+y’ cosφ)+a₀=0

(a₁₁ cos² φ +2a₁₂ cosφsinφ+a₂₂ sin² φ )’²+(-2a₁₁ cosφsinφ+2a₁₂ cosφsinφ-2a₁₂ sinφcosφ+2a₂₂ sinφcosφ)x’y’+(a₁₁ sin² φ-2a₁₂ sinφcosφ+a₂₂ cos² φ)y’²+(2a₁ cosφ+2a₂ sinφ)x’+(-2a₁ sinφ+2a₂ cosφ)y’+a₀=0

Rʹ{o,i,j}; i(cosφ ,sinφ) ,j(-sinφ, cosφ)тогда уравнение можно переписать ввиде:

A₁₁^\2+a₁₂^ʹ x’y’+a₂₂ ‘y’²+2a₁’ x’+2a₂’ y’+a₀ =0 (2)

В уравнении (1)a₁₂≠0. Покажем, что сущ.φ При котором согласно a₁₂’ превращается в ноль.

-a₁₁ cosφsinφ +a₁₂ cos ²φ -a ₁₂sin ²φ +a ₂₂sinφcosφ=0

-a₁₂ tg ²φ+(-a ₁₁+a ₂₂)tg φ+a ₁₂=0

A₁₂ tg ²φ-(a₂₂ –a₁₁ )tgφ –a₁₂ =0

Tg=

A₁₁ ‘x² +a ₂₂’ y ²+2a₁ ‘x’ +2a₂’ y’+a ₀=0(3)

   ;

Таким образом, можно построить новый реперF’ в котором будет изучать и исследовать уравнение(3)

Упрощение уравнения (3):

1) A₁₁^\≠0; a₂₂^\≠0

2) A₁₁^\≠0; a₂₂^\=0

3) A₁₁^\=0; a₂₂^\=0

Отображение и преобразования мн-ств.

Пусть Х,У два мн-ва, Эл-ми которых являются обьекты различной природы. Пусть по некоторому закону каждому эл-ту хÎХ поставлено в соотвецтвие Эл-т

уÎУ.Тогда говорят что мн-ва Х отоброжается в мн-во У. при этом ел-т у называется образом, а Эл-т х—прооброзом.

Основные пон-я с приобразованием мн-в Х,У

Если" двух различ. х₁,х₂ÎХ их образы различны, то отображение наз. инъективным.

Если каж-й эл-т мн-ва У явл. образом по крайней мере одного эл-та мн-ва Х, то отображение наз. сюръективным.

Если 1. и 2. то ето биекцыя.

Взаимно однозначное отобр. f:X®У позволяет установить отобр. f’:X®У. Тогда каждый Эл-т мн-ва У переходит в прообраз из мн-ва Х при отобр. f. Отобр. f ’ также будет взаимно однозначным. Обозн. f^-1 и наз. обратным отобр. к биективному отобр.f.Если отобр. мн-ва Х на мн-во У, где у= f(х)=Х, то говорят, что зад. Отобр. мн-ва Х само на себя.Взаимно однозначное отобр. мн-ва Х само на себя наз. преобразованием мн-ва Х.Параллельный перенос на вектор a.Опр.Параллельным переносом наз.такое отобр.пл-ти на себя,при кот.любая т.M переходит в т.M’ так,что MM’=a,где a-з1аданный ненулевой вектор.

Т.Параллельный перенос есть движение.Д.Пусть a(a1,a2),M(x,y)→M’(x’,y’).MM’(x’-x,y’-y);Тогда x’-x=a1;y’-y=a2,т.е.x’=x+a1;y’=y+a2.C(по строкам-1 0,0 1).Это движение первого рода

Вращение вокруг точки.

Опр.Пусть на пл-ти задана некоторая т.C и направленный угол φ,не равный 0.Поставим в соотв.т.M такую т.M’,что угол MCM’=φ,CM’=CM.Такое преобр.наз.вращением вокруг точки.

M(x,y);M’(x’,y’);M(ρ,α);x=ρcosα;y=ρsinα.Тогда коорд.т.M’:x’=ρcos(φ+α)= ρ(cosφcosα-sinφsinα)= ρcosφcosα-ρsinφsinα; y’= ρsin(φ+α)= ρsinφcosα-ρcosφsinα;

x’=cosφx-sinφy; y’=sinφx+cosφy. Рассм.случай,когда т.C не совпадает с нач.коорд. x’=cosφX-sinφY;y’=sinφX+cosφY.R’{C,i,j}.X’=Xcosφ-Ysinφ;X’=x-x0;Y’=Xsinφ+Ycosφ;Y’=y-y0;X’=(x-x0)cosφ-(y-y0)sinφ;Y’=(x-x0)sinφ+(y-y0)cosφ;(x’-x0)=(x-x0)cosφ-(y-y0)sinφ;(y’-y0)=(x-x0)sinφ+(y-y0)cosφ;

x’=cosφx-sinφy+x0+(-x0cosφ+y0sinφ);

y’=sinφx+cosφy+y0(-x0sinφ-y0cosφ).

C=(по строкам:cosφ –sinφ,sinφ cosφ)-матр.ортогональна,зн.данное отобр.явл.аф.преобр.первого рода.