Гиперболический параболоид. Сечения и образование гиперболического параболоида.

Опр. Гиперболическим параболоидом называется фигура, которая в прямоугольной системе координат Охуz задается уравнением - =2z,где р>0, q>0.(1). Параболоид (1) симметричен относительно координатных плоскостей Oxz Oyz и оси Оz. Исследуем множество Ф₁ точек, получающихся в пересечении параболоида (1) с плоскостью

z= h. (2) Проекция этого множества на плоскость Оху задается в системе координат Оху уравнением - =2h (3)

Если h = 0, уравнение (3) распадается на два уравнения:  - =0 ,  + =0 (4). которые задают две прямые. Итак, плоскость Оху пересекает параболоид (1) по двум прямым (4). При h > 0 уравнение (3) задает семейство соасимптотических гипербол, имеющих вершины на оси Ох.

При h < 0 получается семейство гипербол, им сопряженных. В сечении параболоида (1) плоскостями х =l (5) получаются параболы, проекции которых на плоскость Oyz задаются

в системе координат Oyz уравнением у² = — 2qz + ql²/p.

Эти параболы имеют одинаковые размеры. Аналогично получается и карта сечений параболоида (1) плоскостями у=m: она состоит из конгруэнтных парабол x²=2pz + pm²/q.

Гиперболический параболоид можно образовать аналогично

эллиптическому параболоиду с той лишь разницей, что оси

направляющей и образующей парабол в случае гиперболического параболоида имеют противоположные направления. Гиперболический параболоид (1) изображен на рис.