Пересечение линии 2-го порядка с прямой

Инварианты. Использование инвариантов при упрощении общего ур-ния 2-го порядка

Ортагональным преобразованием наз. преобразование матрицы которых ортагональны

Поворот:

x=x’cos ; y=

Перенос начала координат:

x=x’+

Преобразованием плоскости как поворот на угол  и перенос начало координат, будут являться ортогональными преобразованиями

Рассмотрим как изменится коэффициенты ур-ния (1) при преобразовании переменных координат

+ =0

+ =0

Можно записать виде:

+ =0

=

F(x,y) коэффициентов ,  существуют ф-ции которые не меняют своего значения при ортогональных преобразованиях:

 от коэффициентов ,  для многочлена F(x,y), которые не меняют своих значений при ортогональных преобразованиях наз.Ортагональными инвариантоми

;

Т-ма:Ф-ции , ,  являются ортагональными инвариантоми при преобразовании поворота и переноса начало координат.

Упрощение соответствующих для многочлена:

Рассмотрим ф-ции:

)=   (1);

)= (2);

Т-ма:Общее ур-ние 2-го порядка относительно двух переменных, где  путём ортагонального преобразования поворота на угол  позволяет привести ф-цию (1) к ф-ции (2).Тогда коэффициенты , где  корни ур-ния

-характеристическое ур-ние

Док-во: ; Определим какие решения имеет данное ур-ние, При повороте , тогда . Если D= , Из решения квадратного ур-ния, т.к. D  определяются корни , их сумма равна , а произведение .Тогда полученные корни можно взять в качестве новых коэффициентов ф-ции (2).

Рассмотрим характеристическое ур-ние:

 :

Хар-тическое ур-ние можно записать в виде:

=0

Найдём, используя инварианты, угол , который переводит ур-ние

+ =0 в ур-ние + =0

=

=

=0=

Выполним следующие действия:

Умножим  на ,  на (-  и сложим

=

Получим

 ф-ла по которой определяется угол , зная , можно найти ,  тогда вычисляются новые коэффициенты  и  и общее ур-ние 2-го порядка

Алгоритм приведения общего ур-ния второго порядка к каноническому виду:

1) Дано ур-ние.Найти инварианты

2) Составить характеристическое ур-ние, и найти его корни

3) Найти ;а также ? Записать новые базисные векторы  

4) Найти ;

5) В репере   записываем ур-ние + =0

6) Приводим ур-ние к каноническому виду

7) Изображение линии

Пересечение линии 2-го порядка с прямой

+ =0 (1)

             -направляющий

+ =0

) )

) )

+

P≠0	P=0 (2Qt+R=0)
Q2-PR>0, t1,2= Прямая имеет с линией 2 общие точки	Q≠0, t=- 1 общая точка
Q2-PR=0, t1,2=- 2 совпавшие точки	Q=0,R=0 Прямая принадлежит линии
Q2-PR<0 Прямая не имеет общих действительных точек	Q=0,R≠0 Прямая не имеет с ними общих точек

направление, заданное не нулевым вектором наз. Асимптотическим относительно линии 2-го порядка, если прямая имеет с линией одну действительную точку, не одной действительной точки или целиком содержится в линии.

Условие,которое определяет асимптот. Направление:

Т-ма:Пусть задано ур-ние общей линии 2-го порядка, тогда линия  имеет два асимпт. Направления, если  одно,  не имеет асимп. Направлений

Док-во: ; =0(условие асимпт.направл.)

А) ,

  k=

, ,  A)  нет асим. Нап-ний

, нет асим-ких нап-ний

два асим-ких нап-ния

   б) , , два асим-ких нап-ния 

, одно асим-кое напр-ние

и) , одно асим-кое нап-ние

6.Центр линии второго прядка

Точка С наз. центром линий 2-го порядка, если для любой точки М лежащей на линии, есть точка М^’ симметрично точке относительно точки С также принадлежащая линии.

Лемма:Пусть линия F(x,y)=0 высекает на прямой

, заданной ур-нием не асим-ким нап-ем , хорду,т.  принадлежит этой прямой и является серединой хорды, тогда выполняется условие ) ) =0

;

Из ур-ния    =

) ) =0

Т-ма: Точка М₀(x₀,y₀) ,будет центром линий второго порядка тогда и только тогда, когда её координаты удовлетворяют системе уравнений:  (*)

Док-во: 1)М₀(x₀,y₀)-центр линии 2-го порядка.Покажем,что координаты этой точки удовлет. С-ме(*).М-цент, то ) ) =0 из леммы

Пусть т.М-такая,что невыполняется одно из условий с-мы(*)

. Через центр проходит множество хорд, которые имеют неасим-кие нап-ния, тогда всякая прямая, проходящая через центр пересекает линию вдвух точках.Из полученного соотношения  получили, что такое направление одно,что противоречит выше сказанному.Отсюда следует,что т.М удовл-ет с-ме(*)

Пусть т. М₀(x₀,y₀) такая точка,которая уд-ет с-ме(*).Покажем,что т.М центр линии 2-го порядка =0

=0.Выполним преобразование-перенос начала корд. в т. М₀(x₀,y₀)

x=x’+

+ =0

+ =0 Относительно т.М можно взять любую точку лежащую на прямой и всегда найдётся точка симметричная относительно т.М, тоже лежащая на прямой. по опр. т.М является центром.

 Когда существеут центр?