Цилиндрические поверхности. Цилиндрические поверхности второго порядка. Распадающиеся поверхности второго порядка.

Опр. Цилиндр фигурой будем наз фигуру, состоящую из произвольного мн-ва прямых, параллельных друг другу. Сами эти прямые называются (прямолинейными)

образующими цилиндрической фигуры. Примерами цилиндрических фигур являются: 1) прямая, 2) плоскость 3) круглая цилиндрическая поверхность,4)круглое цилиндрическое тело .Плоская фигура, получающаяся в пересечении цилиндрической фигуры с плоскостью, перпендикулярной к образующим, называется направляющей цилиндрической фигуры. Так, для указанных цилиндрических фигур направляющими

являются точка, прямая, окружность и круг.

Теорема Уравнение F(x, у) =0 (1) задает в прямоугольной системе координат Охуz цилиндрическую фигуру Ф, образующие которой параллельны оси Оz. Направляющая Ф₁ фигуры Ф, лежащая в плоскости Оху, задается в системе координат Оху уравнением (1). Эллиптический цилиндр. Опр. Эллиптическим цилиндром называется фигура , которая в прямоугольной системе координат Охуz задается уравнением =1 (1) За направляющую эллиптического цилиндра (1) может быть принят эллипс, лежащий в плоскости Оху и имеющий в системе координат Оху уравнение (1). Эллиптический цилиндр (1) симметричен относительно: 1) каждой из координатных плоскостей; 2) каждой плоскости, параллельной плоскости Оху 3) каждой координатной оси; 4) каждой прямой, параллельной оси Ох или оси Оу и пересекающей ось Оz; 5) каждой точки, лежащей на оси Оz. Ось Оz называется

осью цилиндра. Если а=b, цилиндр (1) называется цилиндром вращения. Параболический цилиндр. Опр.

Параболическим цилиндром называется фигура, которая в

прямоугольной системе координат Oxyz задается уравнением х₂ = 2ру. (2) За направляющую параболического цилиндра (2) может быть принята парабола, лежащая в плоскости Оху и выражаемая в системе координат Оху уравнением (2). Из уравнения (2) видно, что координата у точек параболического цилиндра принимает только неотрицательные значения. Поэтому весь цилиндр (2) располагается по одну сторону от плоскости Охz, а именно: по ту сторону, в которую идет положительная полуось Оу. Цилиндр (2) симметричен

относительно: 1) плоскости Оуz; 2) плоскости Оху и любой плоскости, ей параллельной; 3) оси Оу и любой прямой, ей параллельной и пересекающей ось Оz

Гиперболический цилиндр. Опр. Гиперболическим цилиндром называется фигура , которая в прямоугольной системе координат Охуz задается уравнением - =1 (3)

За направляющую гиперболического цилиндра (3) может быть принята гипербола, лежащая в плоскости Оху и выражаемая в системе координат Оху уравнением (3). Отметим, что гиперболический цилиндр состоит из двух полостей. Цилиндр (3) симметричен относительно: 1) каждой из координатных плоскостей; 2) каждой плоскости, параллельной плоскости Оху; 3) каждой из координатных осей; 4) каждой прямой, параллельной оси Ох или оси Оу и пересекающей ось Оz 5) каждой точки, лежащей на оси Ох. Ось Ох называется осью гиперболического цилиндра.

9.Взаимно сопряженные направления относительно линии второго порядка.

,  - взаимно сопряженные направления относит линии 2-го порядка.

Опр.Не нулевые  и  назыв взаимно-сопряж направлениями относит линий 2-го порядка, если они удовл условию a₁₁p₁q₁+a₁₂p₂q₂+a₁₂p₂q₁+a₁₂p₂q₂=0. Зная одно направл из условия найдем второе (a₁₁p₁+a₁₂p₂)q₁+(a₁₂p₁+a₂₂p₂)q₂=0.тогда = -

Данная зависимость опред второе сопряж направл. 1)Рассмотрим вопр когда напр сопряжено само себе , тогда из условия сопр получим = - . a₁₂p₁p₂+a₂₂p₂²+a₁₁p₁²+a₁₂p₁p₂=0;тогда a₁₁p₁²+2 a₁₂p₁p₂+ a₂₂p₂²=0

Вывод: Вектор будет сопряжен самому себе, если он имеет асимптотическое направление

2)Может ли вектор  по отнош к линиям 2-го порядка быть таким, что для него не сущ единств сопряж ему направл? Это возможно тогда, когда (a₁₁p₁+a₁₂p₂)=0 и соотв (a₁₂p₁+a₂₂p₂)=0

   определить I₂=0

Система не будет иметь единственного решения. Таким образом линия парабол вида для вектора  не сущ единственного сопряж ему напр.Покажем , что диаметр линий 2-го порядка, напр вектор  и напр вектор хорд  не осимпт. напр, с кот сопряж диаметр явл взаимно сопряжными векторами. Пусть d это прямая, являющаяся диаметром:

d:  [-((a₁₁p₁+a₁₂p₂); (a₁₂p₁+a₂₂p₂)]

= - т.е по опр. Получим, что  и  взаим.сопр