Основные св-ва аф.преобразований.

1)При аф. пр. прямая отобр. в прямую (плоскость—в плоскость)

2) Аф.пр. сохраняет параллельность прямых и плоскостей.

Док-во: d₁: A₁х+B₁у+C₁=0 найдем образы

         d₂: A₂х+B₂у+C₂=0 по аф.пр.

d₁//d₂ A₁/A₂=B₁/B₂ ¹C₁/C₂

3)Аф.пр. плоскост (про-ства) сохр. Простое соотн. трех точек.

Пусть аф преоб задано преходом от репера R к реперу R’. При этом образами А,В,С будут точки А’,В’,С’ .

Тогда АВ=φBC следует A’B’=φB’C’ в силу коллинеарности векторов

4)Аф. пр. отрезок отобр. в отрезок, луч в луч, угол в угол.

5)Сущ. Единственное аф.пр., которое данную 3-ку точек О,А,В переводит в произвольную тройку точек этой же плоскости.

6)Аф. пр. опред. Реперами R{o,e₁,e₂} и R^’{o^’,e₁^’,e₂^’}. Пусть мн-во точек М(х,у) удовл. ур-ю F(х,у)=0 в R. Мн-во т.М(х,у) при аф.пр. отобрж. В мн-во т. М^’(х,у) в R^’ , которые удовл. Ур-ю F(х,у)=0 в R^’.

Преобразовагие ве-ров при аф. пр. плоскости.

Св-ва:

1) При аф. пр. в. u= MN переходит в u^’= M’N’ , причем U^’ имеет такие же корд. в R^’ что и u в R .  

2) Равным век-ром соотв. равные век-ры.

3)Век-ру u+v соотв. при аф. пр. в-р u^’+v^’ , а uv ,где u^’ и v^’ образы в-ров u и v при вф. пр.

4)Если при аф. пр. конечная сист-ма в-ров u₁,u₂,…u_n переходит соотв. u^’₁,u₂^’,…u_n^’ то в-ру l u₁, l u₂,… l u_n

5) Аф. пр. сохр. лин. завис-мость век-ров.

Док-во; Если сис-ма век-ров лин. зав. То их лин. комб-ей есть ноль век-р и $ кооф. Отличный от нуля.При аф.пр. лин.комб. век-ров переходит в лин.комб. их образов, тогда сохр. Их лин.завис-мость век-ров.

6) При аф.пр. всякая лин. незав. сис-ма в-ров переходит в лин.незав. сис-му в-ров.

Док-во: Предположим что лин.незав. сис-ма в-ров при аф.пр. f переходит в л.з. сис-му. Тогда отоброжение f^—1 есть обратное аф.пр. Тогда f^—1  переводит сис-му в-ров в лин.зав. что противоречит условию.

7) Аф.пр. переводит репер в репер.

Центр линии второго порядка. Центральные и нецентральные линии.

Определение: Точка С называется центром линий второго порядка, если для любой точки М принадлежащей этой линии, точка М¹ будет симметрично точке М относительно точки С и тоже принадлежит линии.

Теорема: Точка М₀(x₀,y₀) ,будет центром линий второго порядка тогда и только тогда, когда её координаты удовлетворяют системе уравнений:  (*)

Следствие: Рассмотрим условие зависимости которое определяет решение этой системы: , система имеет единственное решение, если .

Т.е. I₂≠0, если линии эллиптического и гиперболического типа то эти линии имеют единственный центр эти линии называются центральными.

Эллипсоид, его сечения.

Определение:Эллипсоидам называется множество всех точек пространства координаты которых в некотором специально выбранном ортонормированном репере удовлетворяет уравнению: ,

где a>0,b>0,c>0.

Для исследования формы эллипсоида применим метод сечения, т.е. будем пересекать его плоскостями z=h, y=h, x=h   h R (плоскости осям). При конкретном h линии полученные в сечении опред. в прост-ве системой уравнений: 

В пл-ти z=h возьмем декартову прямоуг. сист. координат O’x’y’. Начало кот. т. O’(0,0,h), а оси O’x’ и O’y’ сонаправ-ны в соответст. с осями Ox и Oy. В новой системе коор-т линия полученная в системе имеет уравнение:

1) |h|<c, если , то

2) |h|=c, тогда , то (0,0,±с)

3) |h|>c, тогда   т-к пересечения не будет.

Определение:В случае, когда 2 полуоси эллипсоида равны – он назыв. эллипсоидом вращения, т.к. может быть получен вращением эллипса вокруг одной из его осей. Если a=b=c – сфера.

Конус. Конические сечения.

Определение:Конусам второго порядка называется множество всех точек пространства координаты которых в некотором специально выбранном ортонормированном репере удовлетворяет уравнению: ,

где a>0,b>0,c>0.

Свойства:

1.Симетричность (относительно: координатных плоскостей, координатных осей и начало координат)

2.О(0,0,0) –вершина конуса

3.Основное свойство конуса: M₀(x₀,y₀,z₀)-принадлежит конусу, то все точки прямой OM₀ лежат на конусе

Докажем: OM₀: , t€R

4.Форма конуса: а) z=m,m>0, ,

                           m→∞ - полуоси эллипса увеличиваются

                      b)x=0, пара пересекающихся прямых O(0,0,0)

                         x=n, n>0 –гипербола

Аналогично можно рассматривать сечения плоскостью y=k.