Аналитическое задание движений.

Теорема 1. пусть дан частный случай аффинного преобразования : движение, которое определено двумя реперами R{O,i,j} R’{O’,i’j’}, тогда матрица данного преобразования является ортогональной.

f: x’= c₁₁x+ c₁₂y+ x₀

y’= c₂₁x+c₂₂y+ y₀,

Теорема 2. Если в ортонормированном репере афф преоб задано зависимостью

x’= c₁₁x+ c₁₂y+ x₀

y’= c₂₁x+c₂₂y+ y₀,, где матрица С-ортогональна, то это преобразование является движением

17.Аналитическое задание аффинного преобразования.

Теорема 1. Пусть заданы два репера на плоскости, которые определяют аффинные преобразования. Выполняются след условия е₁’{c₁₁;c₁₂} e₂’{c₂₁ c₂₂} ; O’(x₀,y₀) Пусть т М®M’, которая имеет координаты М’(x’,). Тогды веры след зависимости:

x’= c₁₁x+ c₁₂y+ x₀

y’= c₂₁x+c₂₂y+ y₀, где матрица С-невырожденная

Теорема 2 (обратная)

Пусть заданы отображение плоскости на себя и некоторый репер R{O,i,j}, М®M’ так, что в репере R М’ имеет координаты:

x’= c₁₁x+ c₁₂y+ x₀

y’= c₂₁x+c₂₂y+ y₀, где матрица С-невырожденная. Тогда данное отображение является аффинным.

Теорема(общая)

Пусть на плоскости задан репер R{O,i,j}, отображение плоскости в себя , при котором каждой точки М®M’, будет аффинным преобразованием тогда и только тогда , когда:

 x’= c₁₁x+ c₁₂y+ x₀

 y’= c₂₁x+c₂₂y+ y₀,  где матрица С-невырожденная

Опр. Если определитель матрицы С>0, то аффин преобр называется ПЕРВОГО РОДА, если определитель С<0, то ВТОРОГО РОДА.

Неподвижные точки и прямые при аффинных преобразованиях.

Точка называется неподвижной точкой аффинного преобраз, если она переходит сама в себя при этом афф преобраз.Прямая называется неподвижной, если каждая ее точка неподвижна.

Основные виды движений плоскости.

Параллельный перенос на вектор a.

Опр.Параллельным переносом наз.такое отобр.пл-ти на себя,при кот.любая т.M переходит в т.M’ так,что MM’=a,где a-з1аданный ненулевой вектор.

Т-а.Параллельный перенос есть движение первого рода.

Док-во. R={I,j,k}- орт репера Пусть a(a1,a2),

M(x,y)→M’(x’,y’).MM’(x’-x,y’-y);

Тогда x’-x=a1;y’-y=a2,т.е.

     x’=x+a1;   

     y’=y+a2. C=  яв-ся ортогональной матрицей,

ее определитель detC=1 Это движение первого рода

Вращение вокруг точки.

Опр.Пусть на пл-ти задана некоторая т.C и направленный угол φ,не равный 0.Поставим в соотв.т.M такую т.M’,что угол MCM’=φ,CM’=CM.Такое преобр.

наз.вращением вокруг точки C. Точка С наз центром вращения, угол Р-углом поворота.

M(x,y); M’(x’,y’)-ее образ; M(ρ,α); x=ρcosα; y=ρsinα.

Тогда коорд.т.M’:

x’=ρcos(φ+α)= ρcosφcosα-ρsinφsinα;

y’= ρsin(φ+α)= ρsinφcosα+ρcosφsinα; или

x’=cosφx-sinφy; y’=sinφx+cosφy. Рассм.случай,когда т.C не совпадает с нач.коорд.

 x’=cosφX-sinφY;y’=sinφX+cosφY.R’{C,i,j}.Подставляем

Х=х-х0,Y=y-y0,X’=x-x0,Y’=y’-y0,

X’=(x-x0)cosφ-(y-y0)sinφ; Y’=(x-x0)sinφ+(y-y0)cosφ;

(x’-x0)=(x-x0)cosφ-(y-y0)sinφ;

(y’-y0)=(x-x0)sinφ+(y-y0)cosφ;

x’=cosφx-sinφy+x0+(-x0cosφ+y0sinφ);

y’=sinφx+cosφy+y0+(-x0sinφ-y0cosφ).

C= -матр.орт-льна,

зн.данное отобр.явл.аф.преобр.первого рода, detC=1.

Центральная симметрия.

Опр.Пусть на пл-ти задана точка С. Отобр.пл-ти на себя,при кот.каждой т.M→M’,так что CM’=-CM наз.центральной симметрией.С-центр симметрии.

Т-а.Центральная симметрия есть движение 1-ого рода.

Док-во.C(x0,y0);M(x,y);M’(x’,y’);CM(x-x0,y-y0);CM’(x’-x0,y’-y0);x’-x0=-(x-x0);y’-y0=-(y-y0);

x’=-x+2x0; С=  матрица ортогональна и detC=1

y’=-y+2y0;

Прямая,проход.через центр симметрии отобр.в себя,такая прямая наз.инвариантной,а неподвижная точка одна.Центральная симметрия-частный случай поворота(на 180 градусов).

Осевая симметрия.

Опр.Пусть на пл-ти задана некоторая прямая l.Отобр.пл-ти на себя,при кот.каждой т.M→M’,таким образом,что выполн.условия:1)MM’перпендикулярно l;

                        2)MM’ делится прямой l пополам.

Т-a.Осевая симметрия есть движение второго рода.

Д-во.Пусть прямая l совпадает с осью OX,тогда любой т. M→M’.M(x,y);M’(x,-y);x’=x;y’=-y.C= ,detC=-1/

Прямая l явл.неподвижной прямой.

Скользящая симметрия.

Опр.Скользящей симметрией наз.композиция парал.

переноса на вектор и осевой симметрии относ.

прямой,парал.направлению переноса.

Рассм.аналит.задание скользящей симм.Введём ортонорм.репер так,чтобы ось OX совпадала с заданной прямой m.Тогда вектор v(v1,0).  x’=x+v1, y’=y-0

парал.перенос; x’’=x’, y’’=-y’-осев.симм. x’’=x+v1, y’’=-y.   Матрица этого преобразования С=  detC=-1-скользящая симметрия движение второго рода/