Доказать теорему о высоте прямоугольного треугольника, проведенной из вершины прямого угла.

Теорема о пропорциональных отрезках в прямоугольном треугольнике. Высота прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла, есть среднее пропорциональное между отрезками, на которые делится гипотенуза этой высотой. Катет прямоугольного треугольника есть среднее пропорциональное между гипотенузой и отрезком гипотенузы, заключенным между катетом и высотой, проведенной из вершины прямого угла.

Доказательство: 

Рассмотрим  DАBС и DВСD. 

Рассмотрим DАDС и DВСD. 

DАDС~DВСD (по 1 признаку).

3). Из подобия треугольников:

Рассмотрим DАВС и DВСD. 

DАВС~DВСD

5). Аналогично из подобия DАВС и DАВD:

Следствие 1. Гипотенуза равнобедренного прямоугольного треугольника в   раз больше катета. 

Доказательство:   Согласно теореме Пифагора   

Следствие 2. Диагональ квадрата в   раз больше его стороны. 

Доказательство: Диагональ делит квадрат на два равных равнобедренных прямоугольных треугольника и является гипотенузой каждого из них. См. следствие 1.

Следствие 3. Квадрат перпендикуляра, опущенного из точки окружности на диаметр, равен произведению отрезков, на которые этот перпендикуляр делит диаметр.

Доказательство:

1). Рассмотрим DАBС и DВСD.

2). Рассмотрим DАDС и DВСD.

DАDС~DВСD.

3). Из подобия треугольников:

4). Рассмотрим DАВС и DВСD.

DАВС~DВСD

Билет № 20.

Доказать теорему Пифагора и ей обратную.

Теорема Пифагора. В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов:

Доказательство:

Пусть Т – прямоугольный треугольник с катетами a и b и гипотенузой с.

2). Построим квадрат K со стороной a + b. На сторонах квадрата отметим точки D, E, F, G так, чтобы отрезки DE, EF, FG, GD отсекали от квадрата K прямоугольные треугольники Т₁, Т₂, Т₃  и Т₄ с катетами a и b.

3). Все прямоугольные треугольники Т₁, Т₂, Т₃ и Т₄ равны треугольнику Т (по двум катетам). Поэтому их гипотенузы равны гипотенузе треугольника Т. Следовательно DE = EF = FG = GD.

Докажем, что четырехугольник DEFG является квадратом.

По принципу равносоставленности

Теорема, обратная теореме Пифагора. Если квадрат одной стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон, то треугольник прямоугольный.

Доказательство:

1). Пусть в треугольнике АВС АВ² = АС² + ВС². Докажем, что угол С – прямой.

2). Рассмотрим прямоугольный треугольник А₁В₁С₁ с прямым углом С₁, у которого А₁С₁ = АС, В₁С₁ = ВС.

3). В треугольнике А₁В₁С₁ по т-ме Пифагора (А₁В₁)² = (А₁С₁)² + (В₁С₁)². След-но (А₁В₁)² = АС² + ВС².

4). Докажем равенство сторон АВ и А₁В₁.

5). Докажем равенство треугольников D АВС и D А₁В₁С₁.

6). Таким образом, треугольник АВС – прямоугольный с прямым углом С.

На основании доказанной теоремы можно по известным длинам сторон треугольника определять вид треугольника в зависимости от величин его углов.  

1. Если АВ² = АС² + ВС², то треугольник АВС прямоугольный с прямым углом С.

2. Если АВ² > АС² + ВС², то треугольник АВС тупоугольный с тупым углом С. 

3. Если АВ² < АС² + ВС², причем АВ – наибольшая из сторон треугольника АВС, то треугольник АВС остроугольный, а угол С – самый большой в треугольнике.

Прямоугольные треугольники, у которых длины сторон выражаются целыми числами, называются пифагоровыми треугольникам. Прямоугольный треугольник со сторонами 3, 4 и 5 называется египетским.

 2.  Доказать свойство биссектрисы треугольника. Пропорциональность отрезков хорд.

Теорема о биссектрисе угла треугольника. Биссектриса угла треугольника делит противоположную сторону на отрезки, пропорциональные соответствующим боковым сторонам.

Доказательство: