Рассмотрим прямоугольник со сторонами a и b и площадью S.

2) Достроим прямоугольник до квадрата со стороной a + b, как показано на рисунке. Площадь квадрата равна квадрату его стороны, поэтому 

3) Из рисунка видно, что квадрат составлен из двух прямоугольников со сторонами a и b и двух квадратов, причем один из них со стороной a имеет площадь a², а второй – со стороной b имеет площадь b².

Следовательно, площадь каждого прямоугольника равна

Теорема о площади прямоугольного треугольника. Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов.

Доказательство: Пусть дан прямоугольный треугольник Т со сторонами a и b. Достроим его до прямоугольника Р со сторонами a и b, проведя через вершины его острых углов прямые, перпендикулярные катетам. Гипотенуза треугольника разбивает прямоугольник на два равных треугольника Т и Т₁. Поэтому

Теорема о площади произвольного треугольника. Площадь треугольника равна половине произведения любой  из его сторон и проведенной к ней высоты:

Доказательство:

1) Пусть D АВС – остроугольный, тогда BN ^ AC лежит внутри треугольника.

2) Пусть D АВС – тупоугольный с тупым углом С и BN ^ AC лежит внутри треугольника.

Вычисление площади треугольника через угол. Площадь треугольника равна половине произведения его сторон и синуса угла между ними:

Доказательство: 

Теорема Пифагора. В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов:

Доказательство:

Пусть Т – прямоугольный треугольник с катетами a и b и гипотенузой с.

2). Построим квадрат K со стороной a + b. На сторонах квадрата отметим точки D, E, F, G так, чтобы отрезки DE, EF, FG, GD отсекали от квадрата K прямоугольные треугольники Т₁, Т₂, Т₃ и Т₄ с катетами a и b.

3). Все прямоугольные треугольники Т₁, Т₂, Т₃ и Т₄ равны треугольнику Т (по двум катетам). Поэтому их гипотенузы равны гипотенузе треугольника Т. Следовательно DE = EF = FG = GD.

Докажем, что четырехугольник DEFG является квадратом.

По принципу равносоставленности

Значение теоремы Пифагора. Это одна из главных теорем геометрии. С ее помощью можно вывести большинство теорем геометрии.

Билет № 19.

Признаки подобия прямоугольных треугольников. Доказать теорему о том, что в подобных треугольниках отношение двух соответствующих сторон равно отношению двух соответственных высот, биссектрис, медиан.

Если в двух прямоугольных треугольниках острый угол одного равен острому углу другого, то такие треугольники подобны.

Следствие первого признака подобия: ÐС =ÐС₁ = 90°; ÐА = ÐА₁.

Если в двух прямоугольных треугольниках катеты одного треугольника пропорциональны катетам другого, то такие треугольники подобны.

Следствие второго признака подобия: ÐС =ÐС₁ = 90°;

Если в двух прямоугольных треугольниках гипотенуза и катет одного треугольника пропорциональны гипотенузе и катету другого, то такие треугольники подобны.

Пусть АВС и А₁В₁С₁ – два треугольника с прямыми углами С и С₁ и   На стороне  АС DАВС отложим отрезок AD = A₁C₁ от точки С и проведем DE II AB. Получим вспомогательный DDBE~DABC. Из подобия треугольников следует:  Сравнивая эту пропорцию с данной по условию, получим:  Отсюда следует, что DE = A₁C₁. 

  DDBE = D А₁В₁С₁  по гипотенузе и катету. DDBE ~ D АВС Þ    D А₁В₁С₁ ~ D АВС.

Теорема об отношении сходственных отрезков в подобных треугольниках. В подобных треугольниках сходственные стороны пропорциональны сходственным высотам, сходственным биссектрисам, сходственным медианам.

Так как DABC~DA₁B₁C₁, то ÐA =ÐA₁.   DABD~DA₁B₁D₁, так как ÐA =ÐA₁ и ÐАDB = ÐА₁D₁B₁.

Так как DABC~DA₁B₁C₁, то ÐA =ÐA₁ и ÐВ =ÐВ₁. ÐABD =ÐA₁B₁D₁=0,5ÐВ по свойству биссектрисы Þ        

Так как DABC~DA₁B₁C₁, то ÐA =ÐA₁,  по свойству медиан. DABD~DA₁B₁D₁, так как ÐA =ÐA₁ и   Þ