Чтобы доказать подобие треугольников, нужно доказать, что их соответственные углы попарно равны и сходственные стороны пропорциональны.

2) Докажем равенство углов С и С₁:

3). Определим площадь DАВС:

4). Определим площадь DА₁В₁С₁: 

5). Найдем отношение площадей данных треугольников:

6). По определению треугольники подобны:

Второй признак подобия треугольников. Если две  стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углы, заключенные между этими сторонами, равны, то такие треугольники подобны.

Доказательство: 

1). Рассмотрим треугольники АВС и А₁В₁С₁, у которых   Нужно доказать, что еще одна пара углов, например   в этих треугольниках равная, и тогда они подобны по первому признаку подобия.

2). Построим DАВ₂С~ DА₁В₁С₁. Для этого от стороны АС DАВС отложим в нижнюю полуплоскость ÐСАВ₂ = ÐА₁  и ÐАСВ₂ = ÐС₁. DАВ₂С~ DА₁В₁С₁ по первому признаку подобия. 

3). Из подобия DАВ₂С и DА₁В₁С₁ следует:    По условию   Тогда

4). Рассмотрим треугольники DАВ₂С и DАВС:

Получим: 

Третий признак подобия треугольников. Если три стороны одного треугольника пропорциональны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники подобны.

Доказательство: 

1). Рассмотрим треугольники АВС и А₁В₁С₁, у которых   Нужно доказать, что одна пара углов, например   в этих треугольниках равная, и тогда они подобны по второму признаку подобия.

2). Построим DАВ₂С~ DА₁В₁С₁. Для этого от стороны АС DАВС отложим в нижнюю полуплоскость ÐСАВ₂ = ÐА₁  и ÐАСВ₂ = ÐС₁. DАВ₂С~ DА₁В₁С₁ по первому признаку подобия. 

3). Из подобия DАВ₂С и DА₁В₁С₁ следует:    По условию   Тогда

4). Из подобия DАВ₂С и DА₁В₁С₁ следует:    По условию   Тогда

5). Рассмотрим треугольники DАВ₂С и DАВС:

Получим: 

Доказать теорему о площади прямоугольника, прямоугольного треугольника, теорему Пифагора.

Определение 1. Для многоугольных фигур площадью называется положительная величина с такими свойствами: 1) Если фигура составлена из нескольких многоугольных фигур, то ее площадь равна сумме площадей этих фигур. 2) Равные треугольники имеют равную площадь.

Определение 2. Фигуры, имеющие одну и ту же площадь, называются равновеликими. 

Измерение площади состоит в сравнении площади данной фигуры с площадью фигуры, принятой за единицу измерения. В результате сравнения получается некоторое число, принятое за численное значение площади. Это число показывает, во сколько раз площадь данной фигуры больше (или меньше) площади фигуры, принятой за единицу измерения площади. За единицу измерения площади принимает площадь подходящего квадрата. Площадь этого квадрата называют квадратной единицей площади, а сам квадрат – единичным.

Теорема о площади прямоугольника. Площадь прямоугольника равна произведению его сторон:

Доказательство: