CD  пересекает  окружность.

При  первом  предположении  построим какую-нибудь  касательную  C₁D₁  к  окружности,  не  пересекающую  отрезок  CD.  Тогда  по  необходимому  условию для  описанного  четырехугольника ABC₁D₁  имеем:  AB + C₁D₁ = BC₁ + AD₁. Но т. к.  BC₁ = BC − CC₁, AD₁ = AD − DD₁, 

то  AB + C₁D₁ = BC − CC₁ + AD − DD₁, откуда C₁D₁ + CC₁ + DD₁ = BC + AD − AB. 

Из  условия  AB + CD = BC + AD  следует BC + AD − AB = CD.  

Следовательно, C₁D₁ +CC₁ +DD₁ =CD.

Оказалось,  что  в  четырехугольнике CC₁D₁D одна  сторона  равна  сумме  трех  других,  что невозможно.  Аналогично опровергается  второе  предположение.  Теорема  доказана.

Теорема о сумме катетов прямоугольного треугольника. Сумма катетов прямоугольного треугольника равна разности  гипотенузы и диаметра вписанной окружности.

Доказательство:

По свойству касательных, проведенных к окружности из одной точки:

AN = AP, BP = BT, CN = CT = r.

AC = AN + r, BC = BT + r, AB = AP + PB.

AC + BC = AN + BT + 2r = AB + 2r.

a + b =c + 2r.

2.   Доказать теорему о точке пересечения медиан треугольника. 

Теорема о свойстве медиан треугольника. Три медианы пересекаются в одной точке. Эта точка делит каждую из медиан в отношении  2:1, считая от вершины.

Доказательство:

1). Медиана АА₁ пересекает АВ в точке А₁. Медиана ВВ₁ пересекает АС в точке В₁. Тогда А₁В₁– средняя линия.

2). Рассмотрим D АОВ и D А₁ОВ₁.

3). Из подобия треугольников:

4). Аналогично доказывается, что точка О делит медиану СС₁ в отношении 2:1.

Билет № 16.

Подобные треугольники. Доказать теорему о прямой, параллельной стороне треугольника и пересекающей две другие его стороны.

В повседневной жизни часто встречаются тела и фигуры одинаковой формы, но разных размеров. В геометрии фигуры одинаковой формы принято называть подобными. 

Рассмотрим подобные треугольники АВС и А₁В₁С₁. У них углы соответственно равны и называются соответственными: ÐА = ÐА₁; ÐВ = ÐВ₁; ÐС = ÐС₁. Стороны, лежащие против равных углов, называются сходственными: АВ и А₁В₁; ВС и В₁С₁; АС и А₁С₁. 

Определение подобных треугольников. Два треугольника называются подобными, если их углы соответственно равны и стороны одного треугольника пропорциональны сходственным сторонам другого треугольника.

Иначе:  

Число k, равное отношению сходственных сторон, называется коэффициентом подобия.

Следствие первого признака подобия. Прямая, параллельная какой-либо из сторон треугольника, отсекает от него треугольник, подобный исходному.

Доказательство: 

Рассмотрим DАВС и DА₁ВС₁. 

Доказать теорему о сумме квадратов диагоналей параллелограмма.

Теорема. Сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов всех его сторон.

Дано:

ABCD – параллелограмм;

AC ∩ BD = {O}.

Доказать:

Доказательство: 

Рассмотрим DBAD. 

По теореме косинусов:    где ÐBАD = a.

Рассмотрим DABC. 

По теореме косинусов:    где ÐABC = b.

3. По свойству углов, прилежащих к одной стороне параллелограмма:

ÐBAD + ÐABC = 180° Þ a + b = 180°° Þ b = 180° − a.

4. Преобразуем выражение для стороны AC, используя формулы приведения:    так как по формуле приведения   поскольку ÐABC = 180°−a находится во второй четверти.

Найдем сумму квадратов отрезков АС и ВD, являющихся диагоналями параллелограмма ABCD. 

Поскольку по свойству параллелограмма BC = AD, то

Билет № 17.

Четыре замечательных точки треугольника. Доказать теоремы о центре тяжести и ортоцентре треугольника.

Замечательными точками треугольника являются: 

Точка пересечения биссектрис треугольника. Она равноудалена от всех его сторон и является центром вписанной окружности. Точка пересечения биссектрис треугольника называется инцентром.