Где  R — радиус  описанной  окружности.

Аналогично  b = 2RsinB  и  c = 2RsinC.

Отсюда

Нетрудно  проверить,  что  в  случае,  когда  угол  A тупой  или  прямой,  результат  будет  тот  же.

Для  практического  применения  теорему  синусов полезно  знать  и  в  такой  формулировке:  каждая

Сторона  треугольника  равна  диаметру  описанной  около  него  окружности,  умноженному  на синус  угла,  противолежащего  этой  стороне.

В  доказательствах  некоторых  соотношений  при  выполнении  тождественных  преобразований  теорему  синусов  можно  использовать  в  виде:

asinB = bsinA,  bsinC = csinB,  csinA = asinC.

Билет № 14.

Доказать теорему о четырехугольнике, вписанном в окружность, и теорему, ей обратную.

Так  как  центр  описанной  около  четырехугольника  окружности  равноудален  от  его  вершин,  то  он  принадлежит  серединным  перпендикулярaм  к  его  сторонам и  диагоналям.  Обратно,  если  серединные перпендикуляры  к  трем  сторонам  четырехугольника пересекаются  в  одной  точке,  то эта  точка  будет  равноудалена  от  всех  его  вершин и  поэтому  будет  центром  описанной  около  него  окружности. Итак,  для  того,  чтобы около  четырехугольника  можно  было  описать  окружность,  необходимо  и  достаточно, чтобы  серединные  перпендикуляры  к  трем  его  сторонам  пересекались  в  одной  точке.

Другой  критерий  вписанного  четырехугольника  связан  с  его  углами.

Теорема.  Для  того,  чтобы  около  четырехугольника  можно  было описать  окружность,  необходимо  и  достаточно,  чтобы  сумма  его противоположных  углов  была  равна  180°  (т. е.  суммы  его  противоположных  углов  были  равны).

Точка  C  находится  вне окружности,

Она  лежит  внутри  окружности. При  первом  предположении и  усло-

вии  ∠A > 90°  стороны  BC  и  DC  пересекают  окружность  вторично в  своих  внутренних  точках  E  и  F. Тогда  для  вписанного  четырехугольника  ABED  по  необходимому  условию  будет ∠A+∠BED=180°.  По  теореме  о  внешнем  угле треугольника  ∠BED > ∠C  и  потому ∠A+∠C < 180°,  что  противоречит условию.  Второе  предположение  аналогично  приводит  к  противоречию ∠A + ∠C > 180°.  Доказательство  закончено.

Доказательство:

1) Проведем окружность через три вершины четырехугольника A, B, D и докажем, что она проходит также через вершину С. Пусть это не так. Тогда вершина С лежит либо вне круга, либо внутри круга. Пусть точка С лежит вне круга. Тогда  

Это противоречит условию теоремы. Следовательно, точка С  не может лежать вне окружности.

Пусть точка С лежит внутри круга.

Тогда   

Это противоречит условию теоремы. Следовательно, точка С не может лежать внутри окружности.

Вывод: Чтобы  выполнялось условие теоремы, точка С должна лежать только на окружности, а четырехугольник ABCD должен быть вписанным в окружность.