По первому свойству гомотетии отрезки XY, AX, AY переходят соответственно в отрезки X’Y’, A’X’, A’Y’. 

По второму свойству гомотетии углы ÐA, ÐY, ÐX переходят в углы ÐX’, ÐA’ и ÐY’ соответственно.

Билет № 15.

1. Доказать теорему о четырехугольнике, в который вписана окружность. Доказать теорему о сумме катетов прямоугольного треугольника.

Так  как  центр  окружности,  вписанной  в  четырехугольник,  равноудален  от  его  сторон, то  он  принадлежит  биссектрисе  каждого  из  его  углов.  Следовательно,  биссектрисы углов  описанного  четырехугольника  пересекаются  в  одной  точке — центре вписанной в  него  окружности.  Обратно,  если  биссектрисы  трех  углов  четырехугольника  пересекаются  в  одной  точке,  то  эта  точка  будет  равноудалена  от  всех  его  сторон,  т. е.  будет  центром  вписанной в  этот  четырехугольник  окружности. Итак,  для  того,  чтобы  в выпуклый  четырехугольник  можно  было вписать  окружность,  необходимо  и  достаточно,  чтобы  биссектрисы трех  его  углов  пересекались  в  одной  точке.

Другой  критерий  описанного  четырехугольника связан  с  его  сторонами.

Теорема.  Для  того, чтобы в выпуклый четырехугольник  можно  было  вписать  окружность,  необходимо  и  достаточно,  чтобы  суммы  его противоположных  сторон  были  равны.

Необходимость  этого  условия  следует  из  равенства  отрезков  касательных  к  окружности,  проведенных  из  одной  точки:

AB + CD = (x + y) + (z + t) = (y + z) + (x + t) = BC + AD.

Теорема (обратная). Если суммы противоположных сторон выпуклого четырехугольника равны, то в него можно вписать окружность.

Пусть четырехугольник ABCD  выпуклый  и  AB + CD = BC +AD.

Докажем,  что  в  него  можно  вписать  окружность.

CD  не  пересекает  окружность,