Гомотетия. Доказать, что гомотетия есть преобразование подобия. Подобие фигур.

Преобразование фигуры F в фигуру F’ называется преобразованием подобия, если при этом преобразовании расстояния между точками изменяются в одно м то же число раз. Это значит, что если произвольные точки X и Y фигуры F переходят в точки X’ и Y’ фигуры F’, то X’Y’ = k∙ XY, причем число k одинаково для любых точек X и Y. Число k называется коэффициентом подобия.

 Пусть F – данная фигура и О – фиксированная точка. Проведем через произвольную точку Х фигуры F луч ОХ и отложим на нем отрезок OX’, равный k∙ОX, где k – число, отличное от нуля. Преобразование фигуры F, при котором каждая ее точка Х переходит в точку X’, построенную указанным способом, называется гомотетией относительно центра О. Число k называется коэффициентом гомотетии, а фигуры F и F’ – гомотетичными. 

При k > 0 точки О, М, М₁ лежат на одном луче с центром в точке О, при этом   При k < 0 точки О, М, М₁ лежат на одной прямой, но точка О лежит между точками М и М₁ и

Термин «гомотетия» в переводе с греческого означает «одинаково расположенный».

Отметим, что при k = 1 преобразование является тождественным. При k = -1 получается центральная симметрия относительно точки О. Таким образом, гомотетия является движением.

Теорема 1. Гомотетия есть преобразование подобия.

Доказательство: 

Пусть О – центр гомотетии;   X и Y – две произвольные точки фигуры.

При гомотетии точки X и  Y переходят в точки X’ и  Y’ на лучах ОХ и ОY соответственно, причем

Вычитая эти равенства почленно, получим:

Так как

Значит,

Следовательно, гомотетия есть преобразование  подобия.

Преобразование подобия широко применяется на практике при выполнении чертежей деталей машин, сооружений, планов местности. Эти изображения представляют собой подобные преобразования воображаемых изображений в натуральную величину. Коэффициент подобия при этом называется масштабом.

Свойства преобразования подобия.

Гомотетия переводит прямые в прямые, полупрямые в полупрямые, отрезки в отрезки.

Докажем, что при гомотетии отрезок переходит в отрезок. 

Докажем, что произвольно взятая точка А отрезка XY перешла в точку A’, лежащую на отрезке X’Y’.

Точка А принадлежит отрезку XY тогда и только тогда, когда  где 0 £ t £ 1. Если число t плавно изменяется в указанном диапазоне, то точка A пробегает по отрезку XY.

По основному свойству гомотетии   Подставим эти значения в равенство   Получим:   что означает принадлежность точки A’ отрезку X’Y’.

Гомотетия сохраняет величину угла..

Докажем, что ÐXAY = ÐX’A’Y’.

По определению скалярного произведения векторов:

Гомотетия переводит треугольник в треугольник. Стороны этих треугольников пропорциональны, а соответственные углы равны.

Докажем, что при гомотетии треугольник переходит в подобный ему треугольник, у которого: что ÐA = ÐA’; ÐY = ÐY’; ÐX = ÐX’.