Студопедия

КАТЕГОРИИ:

АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция

Рассмотрим треугольники AОВ и EOD. 

⇐ ПредыдущаяСтр 15 из 25Следующая ⇒

2.  Доказать теорему о скалярном произведении двух векторов и теорему косинусов с помощью векторов. 

Из курса физики известно, что механическая работа А, совершаемая постоянной силой   при перемещении   тела, равна произведению:   где j - угол между направлением перемещения и направлением действия силы. Следует заметить, что механическая работа – скалярная величина. 

Проекция вектора   на ось с единичным вектором   вычисляется именно как такое произведение:   где j - угол между векторами   и . 

Определение. Скалярным произведением двух ненулевых векторов называется произведение их модулей и косинуса угла между ними. 

                  где   

Если один из векторов нулевой, то их скалярное произведение равно 0.

Если

Для любых ненулевых векторов   и   их скалярное произведение  тогда и только тогда, когда   При ненулевых модулях

Теорема (о выражении скалярного произведения векторов в координатах). Скалярное произведение векторов равно сумме произведений одноименных координат этих векторов:

Доказательство:

Отложим от начала координат вектор   и вектор   Пусть векторы неколлинеарны и образуют   Используем обобщенную теорему Пифагора для вычисления длины стороны АВ в ∆ОАВ:

Здесь   Тогда

Выразим полученную формулу в координатах:

Если векторы   и   коллинеарны, то   Тогда 

Свойства скалярного умножения. 

Выполняются для любых векторов   и любого числа х:

 

Доказанные свойства вместе со свойствами сложения векторов позволяют скалярно умножать суммы и разности векторов по правилам алгебры.

 

Теорема косинусов. Квадрат любой стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон без удвоенного произведения этих сторон на косинус угла между ними.

Доказательство:

Пусть АВС – данный треугольник. Докажем, что

Имеем векторное равенство:   

Возведя это равенство скалярно в квадрат, получим:   или

Следствие. Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон «±» удвоенное произведение одной из них на проекцию другой. Знак «+» надо брать, если противолежащий угол тупой, а знак «-», когда угол острый.

Билет № 13.

Доказать теоремы о вписанной и описанной около треугольника окружностях.

Определение 1. Треугольник называется вписанным в окружность, а окружность – описанной около треугольника, если все вершины треугольника лежат на окружности.

Теорема 1 (о центре описанной окружности). Серединные перпендикуляры к сторонам треугольника пересекаются в одной точке.

Дано: D АВС; KK1, NN1, PP1 - серединные перпендикуляры.

Доказать: KK1 ∩ NN1 = {O}; KK1 ∩ PP1 = {O}.

Доказательство:

1. Пусть серединные перпендикуляры KK1  и NN1 пересекаются в точке О. Соединим точку О с вершинами треугольника АВС.

2. По характерному свойству серединного перпендикуляра ОА = ОВ, так как точка О лежит на серединном перпендикуляре KK1; и OВ = OС, так как точка О лежит на серединном перпендикуляре NN1. Следовательно, ОA = ОB = OC.

3. Если ОA = OC, то точка О равноудалена от концов отрезка АС и лежит на серединном перпендикуляре РР1. 

Точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника равноудалена от всех его вершин и является центром описанной окружности.




⇐ Предыдущая10111213141516171819Следующая ⇒






Последнее изменение этой страницы: 2018-04-12; просмотров: 236.

stydopedya.ru не претендует на авторское право материалов, которые вылажены, но предоставляет бесплатный доступ к ним. В случае нарушения авторского права или персональных данных напишите сюда...