Угол, вершина которого лежит вне круга и стороны пересекаются с окружностью, измеряется полуразностью двух дуг, заключенных между его сторонами.

2. Доказать теорему о площади параллелограмма.

Определение 2. Высотой параллелограмма называется общий перпендикуляр его противоположных сторон (или прямых, содержащих эти стороны).

Теорема о площади параллелограмма 1. Площадь параллелограмма равна произведению его стороны и проведенной к ней высоты:

Доказательство: 

Теорема о площади параллелограмма 2. Площадь параллелограмма равна произведению его сторон и синуса угла между ними:

Доказательство: 

Билет № 12.

Доказать теоремы, выражающие свойства хорд и диаметров окружностей.

Свойство 1. Диаметр перпендикулярен хорде, не являющейся диаметром, тогда и только тогда, когда он проходит через середину хорды.  

Дано: О – окружность; DE – диаметр; АВ – хорда;

       АВ ∩ DE = {C}. AC = CB.

Доказать: АВ ^ DE.

Доказательство:

1. Соединим концы хорды АВ с центром окружности. ОА = ОВ = R.

2. Рассмотрим равнобедренный треугольник АОВ. (ОА = ОВ = R). ОС – медиана, проведенная к основанию, по условию (АС = СВ) Þ ОС – высота ОС ^ АВ.    

Следствие. Расстояние от центра окружности до хорды равно расстоянию от центра до середины хорды.

Свойство 1 (обратная теорема). Диаметр, перпендикулярный хорде, не являющейся диаметром, проходит через середину хорды.

Свойство 2. Хорды одной окружности равны тогда и только тогда, когда они равноудалены от центра.  

Дано: О – окружность; АВ и CD – хорды;

Рассмотрим треугольники СОВ и EOF.

3. BC =EF Þ AB=ED.

Свойство 2 (обратная теорема). Если хорды одной окружности равны, то они равноудалены от центра.

Свойство 3. Хорды одной окружности равны тогда и только тогда, когда они стягивают равные центральные углы.  

Дано: О – окружность; ÐАОВ =ÐDОЕ.

Доказать: АВ = DE.

Доказательство:

1. Соединим концы хорд АВ и DE с центром окружности. OA = OB = ОЕ = ОD = R.