Центральный угол, его измерение. Перечислить свойства равенства дуг окружности. Доказать теорему об угле между хордой и полукасательной.

Точки А и В разбивают окружность на дуги: ÈАКВ и ÈАСВ. Дуга называется полуокружностью, если отрезок, соединяющий ее концы, является диаметром окружности. 

Определение 1. Угол, вершина которого лежит в центре окружности, называется центральным углом. 

Центральному углу АОВ соответствует ÈАKВ.

Дугу окружности можно измерить в градусах. Если дуга ÈАВ меньше полуокружности, то ее градусная мера равна градусной мере центрального угла АОВ. Если дуга ÈАВ больше полуокружности, то ее градусная мера равна 360° − ÐАОВ.

Сумма градусных мер двух дуг с общими концами равна 360°.

Теоремы о свойствах равенства  дуг окружности (прямые).  В одном круге или в равных кругах:

1) если дуги равны, то стягивающие их хорды равны и одинаково удалены от центра;

Если две дуги, меньшие полуокружности, не равны, то большая из них стягивается большей хордой и из обеих хорд большая расположена ближе к центру.

Стягивающие их хорды равны и одинаково удалены от центра.

 Доказательство:

1) Пусть дуга АВ равна дуге ED (рис. слева). Докажем, что АВ = ED и OC = OF. Повернем сектор ОАВ вокруг центра окружности таким образом, чтобы дуга АВ совпала с дугой ED. Тогда точка А совпадет с точкой Е, точка В совпадет с точкой D. Хорда ED совпадет с хордой АВ и перпендикуляр ОС совпадет с перпендикуляром OF, так как из данной точки к прямой можно провести только один перпендикуляр.

2) Пусть дуга АВ меньше дуги ED (рис. справа). Докажем, что АВ < ED и OC > OF. Отложим на дуге ED дугу DP = AB, проведем вспомогательную хорду DP и перпендикуляр к ней OT. Рассмотрим DDOP и DDOE. OD = OP = OE = R. ÈDE > ÈDP Þ ÐDOP < ÐDOE. Против большего угла лежит большая сторона Þ DE > DP. Так как OT∩DE = {M}, рассмотрим DMOF – прямоугольный (OF^DE): OM>OF (гипотенуза больше любого из катетов). OT>OM>OF.

Теоремы о свойствах равенства дуг окружности (обратные). В одном круге или в равных кругах:

1) равные хорды одинаково удалены от центра и стягивают равные дуги;

2) хорды, одинаково удаленные от центра, равны и стягивают равные дуги;

3) из двух неравных хорд большая ближе к центру и стягивает большую дугу;

Из двух хорд, неодинаково удаленных от центра, та, которая ближе к центру, больше и стягивает большую дугу.

Эти теоремы легко доказываются от противного.

Теорема о градусной мере угла, образованного касательной и хордой, проведенной через точку касания. Угол, образованный касательной и хордой, проведенной через точку касания, имеет градусную меру, равную половине градусной меры дуги, заключенной между сторонами этого угла.

Доказать:

Теоремы о градусной мере углов, связанных с окружностью: 

Угол, вершина которого лежит внутри круга, измеряется полусуммой двух дуг, из которых одна заключена между его сторонами, а другая - между продолжениями  сторон.