Определение 1. Прямая, имеющая с окружностью только одну общую точку, называется касательной к окружности.

Теорема 1 (о характерном свойстве касательной). Касательная к окружности перпендикулярна к радиусу, проведенному в точку касания.

Доказательство:

Пусть прямая p касается окружности в точке А. Допустим, что прямая p не перпендикулярна ОА. 

Проведем ОВ^p. Отложим на прямой p отрезок ВС = ВА. Тогда ΔАОВ = Δ СОВ как прямоугольные по двум катетам:

 Þ OA = OC Þ точка С так же лежит на окружности, что противоречит условию. Следовательно, ОА^p.

Теорема 2 (признак касательной, обратная). Прямая, проходящая через точку окружности и перпендикулярная ее радиусу, проведенному в эту точку, касается окружности.

Доказательство:

Возьмем любую точку А на окружности и проведем радиус ОА. Затем проведем прямую p, проходящую через точку А и перпендикулярную радиусу ОА. Любая точка В прямой p, отличная от точки А, удалена от О больше чем на радиус, поскольку наклонная ОВ длиннее перпендикуляра ОА. Следовательно, точка В не лежит на окружности. Значит, точка А − единственная общая точка прямой и окружности. Следовательно, прямая p является касательной к окружности.

Теорема 3 (об отрезках касательных, проведенных к окружности из одной точки). Отрезки касательных к окружности, проведенные из одной точки, равны и составляют равные углы с прямой, проходящей через эту точку и центр окружности.

Доказательство:

По свойству касательных ОС^q, OB^p. Проведем луч из точки А через центр окружности. Рассмотрим образовавшиеся треугольники АОС и АОВ.

Прямоугольные по гипотенузе и катету.

Из

Доказать теорему о площади треугольника. Следствие.

Лемма о площади прямоугольного треугольника. Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов.

Доказательство: Пусть дан прямоугольный треугольник Т со сторонами a и b. Достроим его до прямоугольника Р со сторонами a и b, проведя через вершины его острых углов прямые, перпендикулярные катетам. Гипотенуза треугольника разбивает прямоугольник на  два равных треугольника Т и Т₁. Поэтому   

Теорема о площади произвольного треугольника. Площадь треугольника равна половине произведения любой из его сторон и проведенной к ней высоты:

Доказательство: 

1) Пусть D АВС – остроугольный, тогда BN ^ AC лежит внутри треугольника.

2) Пусть D АВС – тупоугольный с тупым углом С и BN ^ AC лежит внутри треугольника.

Вычисление площади треугольника через угол. Площадь треугольника равна половине произведения его сторон и синуса угла между ними:

Доказательство: 

Следствие из теоремы о площади треугольника. Если высоты двух треугольников равны, то их площади относятся как их основания.

Доказательство: Пусть даны треугольники с основаниями a и b и высотой h.   

Теорема об отношении площадей треугольников. Если угол одного треугольника равен углу другого треугольника, то площади этих треугольников относятся как произведения сторон, заключающих равные углы:

Доказательство: 

1. Наложим ∆ А₂В₂С₂ на ∆ А₁В₁С₁ так, чтобы совпали равные углы ÐА₁ = ÐА₂ . 

2. ∆ А₁В₁С₂ и ∆ А₁В₁С₁ имеют общую высоту В₁Н, следовательно

3. ∆ А₁В₂С₂ и ∆ А₁В₁С₂ имеют общую высоту С₂К, следовательно

 4. Найдем отношение площадей ∆ А₁В₁С₁ и ∆ А₂В₂С₂ 

Билет № 11.