Метричні задачі на пряму і площину

Метричні задачі розглядаються в прямокутній системі координат.

1. Знаходження кута між двома прямими у просторі.

Кутом між прямими називається мінімальний кут між їх направляючими векторами.

Нехай прямі мають направляючі вектори ₁ = (α₁,β₁,γ₁), і ₂= (α₂,β₂,γ₂). Тоді із означ.скалярного добутку знаходимо косинус кута між ними:

         (46).

Сам кут знайдемо як арккосинус отриманого числа (враховуючи, що кут гострий).

Звідси одразу випливає умова перпендикулярності двох прямих: ₁× ₂ = 0.

2. Кут між прямою і площиною

Кутом між прямою і площиною наз. гострий кут між прямою і її проекцією на площину.

Познач. цей кут – j (рис.28). Нехай пряма а має направляюч. вектор =(α, β, γ), а площина задана р-ням Ax+By+Cz+D=0. Тоді кут a між нормальним вектором площини =(А,В,С) і направляючим вектором прямої = 90⁰– j; або 90⁰+j, якщо нормальний вектор направлений вниз (рис.28).

Косинус кута між векторами знаходимо із скалярного добутку: . Враховуючи, що сos(90⁰– φ) = sinφ, сos(90⁰+j) = – sinφ, маємо sinj = |cosa|. Отже, ми отримали ф-лу для знаходження синуса кута між прямою і площиною:

(47)

3.Відстань від точки до прямої у просторі:

Нехай пряма а задана точкою М₁(x₁,y₁,z₁) і направляючим вектором =(α, β, γ). Потрібно знайти відстань d від т.М₀(x₀,y₀,z₀) до даної прямої а (рис.29).

Відкладемо вектор  від точки М₁. Отримаємо вектор = .

Розглянемо паралелограм М₁М₀Q₀Q₁. Ясно, що відстань d від т.М₀ до даної прямої а дорівнює висоті паралелограма М₁М₀Q₀Q₁, яку обчислимо, розділивши площу паралелограма на довжину сторони М₁Q₁, тобто на модуль вектора . Площу паралелограма знайдемо як модуль векторного добутку векторів, які утворюють цей паралелограм:

S=d | |=|[ , ]|. Знайдемо координати вектора =(x₀-x₁,y₀-y₁,z₀-z₁).

Тоді .

Перейшовши до координат, отримаємо:

d =                (48)

Відмітимо, що відстань d можна знайти і як відстань між двома точками: точкою М₀ і її ортогональною проекцією на дану пряму (див. приклад 50).

4.Відстань між мимобіжними прямими.

Розглянемо мимобіжні прямі а₁, яка проходить через т.М₁(x₁,y₁,z₁), і має направляючий вектор ₁ =(α₁,β₁,γ₁), та а₂, яка проходить через т.М₂(x₂,y₂,z₂) і має направляючий вектор ₂=(α₂,β₂,γ₂) (рис.30). Відкладемо вектор ₂ від т.М_1, тоді вектор = ₂. Розгул. паралелепіпед, побуд. на векторах _{1 , 2}, і . Згідно теор12, об’єм цього паралелепіпеда рівний модулю змішаного добутку векторів _{1 , 2}, та : V=|( ₁, ₂, )|. З іншого боку, об’єм паралелепіпеда можна знайти як добуток площі основи на висоту. (площу основи знаходимо як модуль векторного добутку векторів, які утворюють паралелограм М₁Q₁P₁N₁, тобто векторів ₁ і ₂):

Отже, V=S× d=|[ ₁, ₂]|×d= |( ₁, ₂, )|.

Звідки d=                          (49)

Відмітимо, що відстань між мимобіжними прямими можна знайти й іншим способом, наприклад, як відстань від будь-якої точки однієї прямої до площини, яка проходить через другу пряму, паралельно до першої. Р-ня такої площини отримаємо за двома направляючими векторами і точкою (направляючими векторами площини будуть направляючі вектори даних прямих).

Еліпс

Еліпсом наз. множина всіх точок площини координати яких, в деякій прямокутній с-мі корд., задовольняють р-ня:      (14) де  а ³ b>0.

З р-ня еліпса маємо: , аналогічно   Отже, еліпс – це фігура обмежена прямокутником із сторонами 2а і 2b.

Так як змінні в р-ня еліпса входять лише в другій степені, то еліпс симетричний відносно координатних осей і початку системи координат.

Відмітимо елементи еліпса, які не залежать від орієнтації координатних осей:   

1. число а – велика піввісь (2а –велика вісь),

2. число b – мала піввісь (2b – мала вісь),

3. 2c – фокальна відстань (c²=a²-b²),

4. e = – ексцентриситет (0<e<1),

5. точка О(0,0) – центр еліпса,

6. А₁(а,0), А₂(-а,0), В₁(0,b), В₂(0,-b) – вершини еліпса,

7. Точки F₁(с,0) , F₂(-с,0) наз. фокусами,

8. прямі d₁ i d₂, які мають рівняння: x= , наз. директрисамиеліпса (не мають спільних точок з еліпсом).

Розгл. довільну т.М, яка належить еліпсу. Відрізки, які сполучають її з фокусами наз. фокальними радіусами т.М (довжини цих відрізків також наз. фокальними радіусами т.М).

Нехай т.М еліпса має координати x, y. Тоді ÷ MF₂÷ = . Так як т.М належить еліпсу, то її координати задовольняють р-ня еліпса: , звідки y²=b²(1– ). Отже,÷ MF₂÷ = = =

= = = =÷ ex+a÷.

Аналогічно міркуючи, отримаємо: ÷ MF₁÷ =÷ -ex+a÷.

Так як для всіх точок еліпса ex < a ,то модулі приймають лише додатні значення, тому: ÷ MF₁÷= -ex+a , ÷ MF₂÷= ex+a .

Тоді÷ MF₁÷ +÷ MF₂÷ =2a .

Отже, ми отримали геометричне означення еліпса: Еліпсом наз. множина всіх точок площини сума відстаней від яких до двох даних точок (фокусів) є величина постійна (рівна 2а).

Параметричні рівняння еліпса.

Нехай задано еліпс канонічним рівнянням:  

Побуд. в прямокут. с-мі коор. два концентричні кола радіус. a і b, a>b (рис.9).

Проведемо промінь ОК . Нехай він утворює з віссю ОХ кут φ. Точки перетину променя з колами позначимо N i Q. Проведемо через точку N пряму паралельну до oсі OX, а через Q пряму паралельну до OY. В перетині цих прямих отримаємо т.M(x, y). Тоді x=a cos φ, y=b sin φ .  Покажемо, що т.M(acos φ, bsin φ) належить еліпсу. Дійсно, її координати задовольняють р-ня: , отже вона належить еліпсу.

Таким чином ми отримали параметричні рівняння еліпса:

                   x=a cosφ ,

                 y=b sinφ , де φ – параметр (0 φ <2p ).

Гіпербола.

Гіперболоюназ. множина всіх точок площини координати яких, в деякій прямокутній с-мі коор., задовольняють р-ня:               (15)

З р-ня гіперболи маємо:

Отже, між прямими x = a і x = – a немає точок гіперболи.

Так як в р-ня гіперболи входять тільки змінні парної степені, то гіпербола симетрична відносно осей OX, OY і початку с-ми коор. Ясно, що інших осей симетрії гіпербола не має, так як будь-яка вісь її симетрії проходить через т.О, а значить являється і віссю симетрії кола x²+y²=a² , яке має з гіперболою дві спільні точки А₁(а,0) та А₂(-а,0); тому будь-яка вісь симетрії переводить А₁ в А₂ і навпаки, або залишає їх нерухомими. А це лише прямі OX і OY.

При побудові гіперболи досить побудувати її у першій координатній четверті, а в інших – по симетрії.

З р-ня гіперболи маємо: , або . Графік цієї функції необмежений і при х , наближається у першій четверті до прямої , яку наз. асимптотою гіперболи.

Таким чином, гіперболу можна побуд. за допомогою прямокутника із сторонами 2a і 2b, його діагоналі будуть асимптотами (рис.12).

Основні елементи гіперболи, які не залежать від орієнтації системи координат:

1. а – дійсна піввісь; 2а – дійсна вісь.

2. b – уявна піввісь; 2b – уявна вісь.

3. 2c – фокальна відстань (c²=a²+b²).

4. e = >1 – ексцентриситет.

5. Точки А₁(а,0) та А₂(-а,0)– вершини гіперболи.

6. Точка О(0,0) – центр гіперболи.

7. Точки F₁(c,0) і F₂(-c,0) – фокуси гіперболи.

8. Прямі d₁ і d₂ : – директриси гіперболи.

9. Прямі   – асимптоти гіперболи

Відрізки, які сполучають довільну точку гіперболи з фокусами, наз. фокальними радіусами. Як і для еліпса знайдемо:÷ MF₁÷ =÷ex – a÷, ÷ MF₂÷ =÷ex + a÷ Але так як для гіперболи ÷ex÷>÷x÷>a то  , і      Звідси випливає, що

÷ MF₁÷ –÷ MF₂÷ =  або  ÷÷ MF₁÷ –÷ MF₂÷÷=2a .

Одержали геометрич. озна.: гіперболою наз. множина всіх точок площини, модуль різниці відстаней від яких, до двох даних точок F₁ і F₂ (фокусів) є величина постійна (рівна 2а).

Відмітимо, що у випадку a=b гіпербола наз. рівносторонньою.

Теор9. Якщо за вісі прямокутної с-ми коор. взяти асимптоти рівносторонньої гіперболи, то в цій с-мі коор. гіпербола являє собою графік оберненої пропорційності    .

Якщо  , то ми отримаємо гіперболу, яка наз. спряженою з . Вона має ті ж асимптоти, але її фокуси лежать на вісі OY (рис.12).

Парабола.

Параболою наз. множина всіх точок площини, координати яких, в деякій прямокутній с-мі коор. задовольняють р-ня:                                       (16)

Так як у р-ні параболи в парній степені лише ордината, то парабола симетрична тільки відносно вісі OX і розміщена в першій і четвертій чвертях, якщо р>0 (рис.13) і другій та третій, якщо р<0. Вісь симетрії параболи наз. віссю параболи.

Парабола проходить через т.О(0,0), яка наз. вершиною параболи. Інших точок перетину з осями координат парабола не має, тому вісь OX – єдина вісь симетрії параболи.

Нехай р>0, тоді якщо x®¥ тоі y®¥ (рис.13).

Відмітимо основні елементи параболи, які не залежать від орієнтації системи координат:

1. число р – фокальний параметр.

2. число  – фокальна відстань.

3. точка F( ,0) – фокус.

4. пряма d:  – директриса.

Теор10.Парабола – це множина тих і тільки тих точок площини, які рівновіддалені від фокуса і директриси.

Доведення.  Нехай точка M(x,y) рівновіддалена від F і d. Умова рівновіддаленості: . =÷ x+ ÷.  отже, , або  .Звідки . Отже, якщо точка рівновіддалена від фокуса і директриси, то вона належить параболі (рис.13).

Навпаки, нехай т.М належить параболі, яка має р-ня .

Знайдемо відстань від т.М до фокуса:

. Оскільки точка М належить параболі, то її координати задовольняють рівняння параболи отже, , тому  а це і є відстань від точки М до директриси.