Рівняння площини в афінній системі координат

Вектор, який лежить на площині або паралельний до неї, наз. направляючим вектором площини.

Площину в афінній с-мі коор. (О, , , ) можна задати двома направляючими векторами (неколінеарними)і точкою, або трьома точками, які не лежать на одній прямій.

1.Рівняння площини, заданої двома направляючими векторами і точкою.

Нехай площина π задана неколінеарними направляючими векторами =(α₁,β₁,γ₁) і =(α₂,β₂,γ₂), та точкою М₀(x₀,y₀,z₀). Виберемо на площині ще одну довільну точку М(x,y,z). Розглянемо вектор =(x-x₀, y-y₀, z-z₀). Оскільки т.М належить площині то вектори ,  та  компланарні, отже за теоремою 9:

=0                                      (33)

2. Рівняння площини, заданої трьома точками.

Нехай площина задана трьома точками, які не лежать на одній прямій М₁(x₁,y₁,z₁), М₂(x₂,y₂,z₂), М₃(x₃,y₃,z₃). Тоді можна скористатися рівнянням (33), поклавши = , = , а М₀=М₁. Отримаємо:

= 0                                   (34)

3. Рівняння площини у відрізках (на осях):

Нехай площина відтинає на осях координат відрізки a, b і c відповідно. Тоді вона проходить через точки А(а,0,0), В(0,b,0) і С(0,0,с). Використавши р-ня (34), маємо: =0, або після елементарних перетворень: + + =1. (35)

Відмітимо, що a, b і c направлені відрізки, тому вони можуть бути і від’ємні.

4.Параметричні рівняння площини:

Нехай площина π задана направляючими векторами =(α₁,β₁,γ₁), =(α₂,β₂,γ₂) і точкою М₀(x₀,y₀,z₀). Виберемо на площині ще одну довільну т.М(x,y,z). Розглянемо вектор: =(x-x₀,y-y₀,z-z₀). За теор4 =λ +μ . Перейшовши до координат, отримаємо:

x-x₀=λα₁+μα₂                                                                                          x=λα₁+μα₂+x₀,

y-y₀=λβ₁+μβ_2,    або    y=λβ₁+μβ₂+y₀,                       (36)

z-z₀=λγ₁+μγ₂,                                                                                          z=λγ₁+μγ₂+z₀,

 де λ, μ параметри (λ,μ  R).

5.              Загальне рівняння площини:

Всі отримані нами рівняння площини – це рівняння першого степеня з трьома змінними, а тому їх можна записати загальним рівнянням Ax+By+Cz+D=0.  (37)

Теор16. Множина точок простору, координати яких в афінній с-мі коор. задовольняють р-ня (37), де А, В і С не рівні нулю одночасно, являє собою площину, причому =(-В,А,0) і =(-С,0,А) – направляючі вектори цієї площини.