Циліндричні та канонічні поверхні, їх властивості. Класифіфкація поверхонь 2-го порядку.

Поверхня, яка разом з будь-якою своєю точкою містить все коло, отримане обертанням цієї точки навколо деякої фіксованої прямої, наз. поверхнею обертання (рис. 18).

Пряма, навколо якої виконується обертання, наз. віссю обертання. Якщо поверхню обертання перетинати площинами, перпендикулярними до вісі обертання, то отримаємо кола. Такі кола наз. паралелями поверхні. Площини, які проходять через вісь обертання, перетинають поверхню обертання по лініях, які наз. меридіанами.

Конусом 2-го порядкуназ. поверхня, яка в деякій прямо кут. с-мі коор. визнач. Р-ням:                                                             (23)

Покажемо, що конус склад. із прямих, які проходять через почат. с-ми коор. Нехай т.М₀(x₀,y₀,z₀) – довільна точка конуса (23), відмінна від т.О(0,0,0). Тоді координати т.М₀ задовол. р-ня конуса отже,  . Розгул. т.М(tx₀,ty₀,tz₀), де tÎ R. Т.М також належ. конусу, оскільки . Таким чином разом з т.М₀ конусу належ. вся пряма, яка проходить через поч.. коор. і має направляючий вектор . Отже, конус можна розг. як множину деяких прямих, які проходять через т.О, які наз. твірними. Т.О наз. вершиною конуса.

Так як змінні x,y,z входять в рівняння конуса лише в парних степенях, то він симетричний відносно координатних площин, осей і початку координат.

Дослідимо форму конуса (23) методом перерізів і побудуємо його.

1). Розг. перерізи конуса площиною XOY і || до неї площинами. Їх р-ня z=h. В перетині отримаємо:

або  . Можливі випадки:

а) якщо h=0, то одержимо т.О(0,0,0),

b) якщо h ¹ 0, то фігура перетину – еліпс (рис. 21).

Конус, який має р-ня (23) – це множина всіх прямих простору, які проходять через т.О і точки будь-якого еліпса з центром в т.Q, яка належ. вісі OZ (Q ¹ О).

У цьому випадку еліпс називається направляючим, авісь OZ називається віссю конуса.

Відмітимо, що направляючою конуса наз. довільна лінія розміщена на ньому і для якої викон. умова, що будь-яка прямолінійна твірна перетин. її в одній і тільки одній точці.

2). Розг. перерізи конуса площиною XOZ і || до неї площинами. Їх р-ня y=k. В перетині отримаємо:

або

a) в площині XOZ, тобто коли k=0, маємо пару прямих, які перетин. в т.О(0,0,0) (рис.21),

b) якщо k¹0 то отримаємо гіперболу з дійсною віссю паралельною до OZ.

3). Анало. до другого випадку перерізи отрим. і в площині YOZ та || до неї площинах: x=m.

Якщо в р-ні (23) a=b, то конус наз. конусом обертання, або круговим конусом.

Переріз конуса з площиною, яка не проходить через т.О може бути як еліпсом, гіперболою, так і параболою (переріз площиною, яка паралельна деякій твірній). Таким чином криві другого порядку (еліпс, гіперболу, параболу) можна розглядати як перерізи конуса другого порядку площинами. Тому їх часто наз. конічними перерізами.

Поверхня, яка разом з будь-якою своєю точкою містить і всю пряму, яка проход. через цю точку, паралельно до деякого вектора  наз. циліндричною.

Циліндрич. поверхню можна отрим., якщо провести через деяку криву  (направляючу) прямі лінії (твірні), які || до . Якщо  || до вісі OZ, то за направляючу можна взяти лінію, яка лежить в площині XOY. Тоді циліндрич. поверхню можна задати р-ням від двох змінних F(x,y)=0 – тобто направляючою. Я якщо т.  належ. циліндрич. поверхні (її координати задовол. р-ня F(x,y)=0), то цій поверхні буде належ. і т.  (так як її коор. задовол. це ж р-ня F(x,y)=0) отже, поверхні буде належ. і вся пряма, яка || до вісі OZ.

Циліндр другого порядку може бути (в залежності від направляючої) еліптичним, гіперболічним, параболічним, а також виродженим циліндром, який розпадається на пару площин, що перетин., пару || площин, пару площин що співпадають.

Еліптичним циліндромназ. поверхня, яка в деякі прямо кут. с-мі коор. визнач. р-ням:  .                                                                          (28)

Дослідимо форму еліптичного циліндраметодом перерізів і побудуємо його.

1). Розг. перерізи еліптичного циліндраплощиною XOY і || до неї площинами:

 – еліпс.

2). В перетині еліптич. циліндра зплощиною XOZ і || до неї площинами отрим.:

або                

а). Якщо   то маємо пару прямих, що співпали (будуємо пряму паралельну до вісі OZ) (рис 26).

b). Якщо  маємо порожню множину.

с). Якщо  отримаємо пару паралельних прямих (які паралельні до вісі OZ).

3). Перетин еліптич. циліндра зплощиною YOZ і || до неї площинами повністю аналогіч. до попереднього (рис.26).

Як бачимо для побудови циліндра можна і не використовувати метод перерізів, а просто побудувати направляючу і провести твірні, || до вісі циліндра.

Гіперболічним циліндром (рис.27)наз. поверхня, яка в деякі прямо кут. с-мі коор. визнач. р-ням:  .                                                        (29)

Параболічним циліндром (рис.28)наз. поверхня, яка в деякі прямо кут. с-мі коор. визнач. р-ням:  .                                                                  (30)