Пряма в прямокутній системі координат

Всі р-ня прямої (23) – (28), які ми отримали в афінній с-мі коор., мають місце і в прямокутній с-мі.

Виведемо ще два р-ня прямої, які пов’язані з поняттями перпендикулярності, і тому мають місце тільки в прямокутній с-мі коор.

Вектор ≠  наз. нормальним вектором прямої, якщо він перпендикулярний до будь-якого її направляючого вектора.

7.              Рівняння прямої, заданої точкою і нормальним вектором.

Нехай пряма d в прямокутній с-мі коор. задана т.М₀(x₀,y₀), і нормальним вектором = (А,В). Виберемо довільну т.М(x,y) на прямій d (рис.23).

Тоді вектор =(x-x₀, y-y₀) перпендик. до вектора , отже, їх скаляр. добуток · =0. Перейшовши до координат, отримаємо рівняння прямої: А(x–x₀)+В(y–y₀)=0.              (29)

Відмітимо, що для прямої, заданої загальним рівнянням Ax+By+C=0, нормальний вектор = (А, В), так як він перпендикулярний до її направляючого вектора =(-В, А) ( · =0).

8.              Нормальне рівняння прямої:

Нехай пряма лінія задана в прямокутній с-мі коор. одиничним нормальним вектором ₀=(cosφ, sinφ) і відстанню ρ від початку координат до прямої. Тоді ρ=|ОН| (рис.24). Знайдемо координати т.Н. Так як координати точки, це координати її радіус-вектора, то =ρ ₀ = (ρ cosφ, ρ sinφ). Отже, Н(ρ cosφ , ρ sinφ).

Скориставшись р-ням (29) отримаємо: cosφ(x–ρcosφ)+sinφ(y–ρsinφ)=0, або xcosφ+ysinφ – ρ=0             (30)

Очевидно, що для того, щоб із загального р-ня отримати нормальне р-ня, потрібно розділити його почленно на довжину нормального вектора ( таким чином ми отримаємо одиничний нормальний вектор ₀ ), причому взяти цей дільник із знаком „+”, якщо вільний член С > 0 і знаком „–”, якщо С < 0.