Перетворення подібності. Гомотетія. Аналітичне задання подібності. Група подібності та її властивості.

Перетворення площини наз. перетворенням подібності (подібністю), якщо існує число  таке, що для будь-яких точок А і В і їх образів  і  виконується умова .

Якщо , то отримаємо рух площини.

Тобто рух – це частковий випадок перетворення подібності.

Розг. приклад перетворення подібності, відмінного від руху.

Зафіксуємо точку  і число .

Кожній точці М площини поставимо у відповідність точку  таку, щоб виконувалась рівність:               (2) (рис.5).

Таке перетвор. площини наз. гомотетією з центром в т.  і коефіцієнтом m.

Покажемо, що гомотетія є перетвор.подібності.

Розг. ще одну т.N площ. та її образ – т.  (рис.5). Тоді .

Отже,

                        (3)

Таким чином гомотетія є перетвор.подібності з коефіцієнтом k= .

· якщо , то маємо тотожне перетворення,

· якщо , то це перетворення – центральна симетрія відносно т. ,

· якщо , то гомотетія відмінна від руху.

Задамо на площині с-му коор. , і розг. т.М та її образ т. при гомотетії з центром в т.О(0,0) (рис.6). Одерж. аналітич. задання такої гомотетії.

Нехай точка М має координати x, y, а точка має координати  Тоді за означенням гомотетії . Перейшовши до координат, отримаємо:

                              (4)